เคล็ดลับสำหรับการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคือสูตรที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบ Ax^2 + Bx + C = 0 บางครั้ง สมการกำลังสองสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยแฟคตอริ่ง หรือแสดงสมการเป็นผลคูณของพจน์แยกกัน ซึ่งจะทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้น ปัจจัยในบางครั้งอาจระบุได้ยาก แต่ก็มีลูกเล่นที่ทำให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้น

ตรวจสอบสมการกำลังสองเพื่อดูว่ามีตัวเลขและ/หรือตัวแปรที่สามารถแบ่งแต่ละเทอมของสมการได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ 2x^2 + 10x + 8 = 0 จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหารเท่าๆ กันในแต่ละเทอมของสมการคือ 2 ดังนั้น 2 จึงเป็นตัวประกอบร่วมมาก (GCF)

หารแต่ละเทอมในสมการด้วย GCF และคูณสมการทั้งหมดด้วย GCF ในสมการตัวอย่าง 2x^2 + 10x + 8 = 0 ซึ่งจะส่งผลให้ 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2)

ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยกรอกการหารในแต่ละเทอม ไม่ควรมีเศษส่วนในสมการสุดท้าย ในตัวอย่าง จะส่งผลให้ 2(x^2 + 5x + 4) = 0

ตรวจสอบสมการกำลังสองเพื่อดูว่าอยู่ในรูปแบบ Ax^2 + 0x – C = 0 โดยที่ A = y^2 และ C = z^2 หากเป็นกรณีนี้ สมการกำลังสองจะแสดงผลต่างของสี่เหลี่ยมสองกำลังสอง ตัวอย่างเช่น ในสมการ 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 และ C = 9 = 3^2 ดังนั้น y = 2 และ z = 3

แยกตัวประกอบสมการอยู่ในรูปแบบ (yx + z)(yx – z) = 0 ในสมการตัวอย่าง y = 2 และ z = 3; ดังนั้น สมการกำลังสองแยกตัวประกอบคือ (2x + 3)(2x – 3) = 0 นี่จะเป็นรูปแบบการแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองที่เป็นผลต่างของกำลังสองเสมอ

ตรวจสอบสมการกำลังสองเพื่อดูว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ หากสมการกำลังสองเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สามารถเขียนได้ในรูปแบบ y^2 + 2yz + z^2 เช่น สมการ 4x^2 + 12x + 9 = 0 ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. ในกรณีนี้ y = 2x และ z = 3

ตรวจสอบว่าระยะ 2yz เป็นบวกหรือไม่ ถ้าเทอมเป็นบวก ตัวประกอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์จะเป็น (y + z)(y + z) เสมอ ตัวอย่างเช่น ในสมการข้างต้น 12x เป็นค่าบวก ดังนั้นตัวประกอบคือ (2x + 3)(2x + 3) = 0

ตรวจสอบว่าระยะ 2yz เป็นลบหรือไม่ ถ้าเทอมเป็นลบ ตัวประกอบจะเป็น (y – z)(y – z) เสมอ ตัวอย่างเช่น หากสมการข้างต้นมีเทอม -12x แทนที่จะเป็น 12x ตัวประกอบจะเป็น (2x – 3)(2x – 3) = 0

กำหนดรูปแบบการแยกตัวประกอบของสมการกำลังสองโดยเขียน (vx + w)(yx + z) = 0 จำกฎสำหรับการคูณ FOIL (ก่อน, ภายนอก, ภายใน, สุดท้าย) เนื่องจากเทอมแรกของสมการกำลังสองคือ Ax^2 ตัวประกอบทั้งสองของสมการจึงต้องมี x ด้วย

แก้หา v และ y โดยพิจารณาปัจจัยทั้งหมดของ A ในสมการกำลังสอง ถ้า A = 1 ทั้ง v และ y จะเป็น 1 เสมอ ในสมการตัวอย่าง x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1 ดังนั้น v และ y จึงสามารถแก้สมการแยกตัวประกอบได้ (1x + w)(1x + z) = 0

กำหนดว่า w และ z เป็นบวกหรือลบ ใช้กฎต่อไปนี้: C = บวก และ B = บวก; ปัจจัยทั้งสองมีเครื่องหมาย + C = บวกและ B = ลบ ปัจจัยทั้งสองมีเครื่องหมาย – C = ลบและ B = บวก; ปัจจัยที่มีค่ามากที่สุดมีเครื่องหมาย + C = ค่าลบและ B = ค่าลบ ตัวประกอบที่มีค่ามากที่สุดมีเครื่องหมาย - ในสมการตัวอย่างจากขั้นตอนที่ 2 B = -9 และ C = +8 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งสองของสมการจะมีเครื่องหมาย - และสมการแยกตัวประกอบสามารถเขียนได้เป็น (1x – w)(1x – z) = 0.

ทำรายการปัจจัยทั้งหมดของ C เพื่อค้นหาค่าสำหรับ w และ z ในตัวอย่างข้างต้น C = 8 ดังนั้นตัวประกอบคือ 1 และ 8, 2 และ 4, -1 และ -8 และ -2 และ -4 ตัวประกอบต้องรวมกันเป็น B ซึ่งเท่ากับ -9 ในสมการตัวอย่าง ดังนั้น w = -1 และ z = -8 (หรือกลับกัน) และสมการของเรานั้นแยกตัวประกอบอย่างสมบูรณ์เป็น (1x – 1)(1x – 8) = 0.

ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดโดยใช้วิธี Greatest Common Factor ที่ระบุไว้ข้างต้น ตัวอย่างเช่น ในสมการ 9x^2 + 27x – 90 = 0 GCF คือ 9 ดังนั้นสมการจะลดรูปเป็น 9(x^2 + 3x – 10)

วาดกล่องแล้วแบ่งเป็นตารางที่มีสองแถวและสองคอลัมน์ ใส่ Ax^2 ของสมการแบบง่ายในแถวที่ 1 คอลัมน์ 1 และ C ของสมการแบบง่ายในแถวที่ 2 คอลัมน์ 2

คูณ A ด้วย C และค้นหาปัจจัยทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ ในตัวอย่างข้างต้น A = 1 และ C = -10 ดังนั้นผลคูณคือ (1)(-10) = -10 ตัวประกอบของ -10 คือ -1 และ 10, -2 และ 5, 1 และ -10 และ 2 และ -5

ระบุว่าปัจจัยใดของผลิตภัณฑ์ AC รวมกันเป็น B ในตัวอย่าง B = 3 ตัวประกอบของ -10 ที่รวมกันเป็น 3 คือ -2 และ 5

คูณปัจจัยที่ระบุแต่ละตัวด้วย x ในตัวอย่างข้างต้น จะส่งผลให้ -2x และ 5x ใส่คำศัพท์ใหม่สองคำนี้ลงในช่องว่างสองช่องว่างบนแผนภูมิ เพื่อให้ตารางมีลักษณะดังนี้:

x^2 | 5x

-2x | -10

ค้นหา GCF สำหรับแต่ละแถวและคอลัมน์ของกล่อง ในตัวอย่าง CGF สำหรับแถวบนสุดคือ x และสำหรับแถวล่างสุดคือ -2 GCF สำหรับคอลัมน์แรกคือ x และสำหรับคอลัมน์ที่สองคือ 5

เขียนสมการแยกตัวประกอบในรูปแบบ (w + v) (y + z) โดยใช้ตัวประกอบที่ระบุจากแถวแผนภูมิสำหรับ w และ v และปัจจัยที่ระบุจากคอลัมน์แผนภูมิสำหรับ y และ z ถ้าสมการถูกทำให้ง่ายขึ้นในขั้นตอนที่ 1 อย่าลืมรวม GCF ของสมการไว้ในนิพจน์ที่แยกตัวประกอบ ในกรณีของตัวอย่าง สมการแยกตัวประกอบจะเป็น 9(x – 2)(x + 5) = 0

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการอยู่ในรูปแบบกำลังสองมาตรฐาน ก่อนที่คุณจะเริ่มวิธีการใดๆ ที่อธิบายไว้

การระบุกำลังสองสมบูรณ์หรือส่วนต่างของกำลังสองนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป หากคุณสามารถเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าสมการกำลังสองที่คุณพยายามแยกตัวประกอบอยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเหล่านี้ นั่นก็ช่วยได้มาก อย่างไรก็ตาม อย่าใช้เวลามากในการค้นหาสิ่งนี้ เพราะวิธีอื่นอาจเร็วกว่านี้

ตรวจสอบงานของคุณเสมอโดยคูณปัจจัยโดยใช้วิธี FOIL ตัวประกอบควรคูณกลับไปเป็นสมการกำลังสองเดิมเสมอ