เมทริกซ์ช่วยแก้สมการพร้อมกันและมักพบในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กทรอนิกส์ วิทยาการหุ่นยนต์ สถิตย์ การเพิ่มประสิทธิภาพ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและพันธุศาสตร์ ทางที่ดีควรใช้คอมพิวเตอร์แก้สมการขนาดใหญ่ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถแก้หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 4 คูณ 4 ได้โดยการแทนที่ค่าในแถวและใช้เมทริกซ์รูปแบบ "สามเหลี่ยมบน" สิ่งนี้ระบุว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เป็นผลคูณของตัวเลขในแนวทแยงเมื่อทุกอย่างที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมเป็น 0
แทนที่แถวที่สองเพื่อสร้าง 0 ในตำแหน่งแรก ถ้าเป็นไปได้ กฎระบุว่า (แถว j) + หรือ - (C * แถว i) จะไม่เปลี่ยนดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ โดยที่ "แถว j" คือแถวใดๆ ในเมทริกซ์ "C" เป็นปัจจัยร่วมและ "แถว i" คือแถวอื่นในเมทริกซ์ เมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ตัวอย่าง (แถว 2) - (2 * แถว 1) จะสร้าง 0 ในตำแหน่งแรกของแถว 2 ลบค่าของแถวที่ 2 คูณด้วยตัวเลขแต่ละตัวในแถวที่ 1 จากตัวเลขแต่ละตัวในแถวที่ 2 เมทริกซ์กลายเป็น:
แทนที่ตัวเลขในแถวที่สามเพื่อสร้าง 0 ในตำแหน่งที่หนึ่งและที่สอง ถ้าเป็นไปได้ ใช้ตัวประกอบร่วมของ 1 สำหรับเมทริกซ์ตัวอย่าง และลบค่าออกจากแถวที่สาม เมทริกซ์ตัวอย่างจะกลายเป็น:
แทนที่ตัวเลขในแถวที่สี่เพื่อให้ได้ศูนย์ในสามตำแหน่งแรก ถ้าเป็นไปได้ ในตัวอย่างปัญหา แถวสุดท้ายมี -1 ในตำแหน่งแรก และแถวแรกมี 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกัน ดังนั้นให้เพิ่มค่าคูณของแถวแรกกับค่าที่สอดคล้องกันของแถวสุดท้ายเพื่อให้ได้ศูนย์ในครั้งแรก ตำแหน่ง. เมทริกซ์กลายเป็น:
แทนที่ตัวเลขในแถวที่สี่อีกครั้งเพื่อให้ได้ศูนย์ในตำแหน่งที่เหลือ ตัวอย่างเช่น คูณแถวที่สองด้วย 2 และลบค่าออกจากแถวสุดท้ายเพื่อแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบ "สามเหลี่ยมบน" โดยมีเพียงศูนย์ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุม เมทริกซ์ตอนนี้อ่าน:
แทนที่ตัวเลขในแถวที่สี่อีกครั้งเพื่อให้ได้ศูนย์ในตำแหน่งที่เหลือ คูณค่าในแถวที่สามด้วย 3 แล้วบวกเข้ากับค่าที่สอดคล้องกันในแถวสุดท้ายเพื่อให้ได้ศูนย์สุดท้ายที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมในเมทริกซ์ตัวอย่าง เมทริกซ์ตอนนี้อ่าน:
คูณตัวเลขในแนวทแยงเพื่อแก้หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 4 คูณ 4 ในกรณีนี้ คูณ 1_3_2*7 เพื่อหาดีเทอร์มีแนนต์ของ 42