ตัวเลขจริงคืออะไร?

จำนวนจริงคือตัวเลขทั้งหมดบนเส้นจำนวนที่ขยายจากอนันต์ลบถึงศูนย์ถึงอนันต์บวก การสร้างเซตของจำนวนจริงนี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยพลการ แต่เป็นผลลัพธ์ของการวิวัฒนาการจากจำนวนธรรมชาติที่ใช้สำหรับการนับ ระบบตัวเลขธรรมชาติมีความไม่สอดคล้องกันหลายประการ และเมื่อการคำนวณมีความซับซ้อนมากขึ้น ระบบตัวเลขจึงขยายเพื่อแก้ไขข้อจำกัด ด้วยจำนวนจริง การคำนวณจะให้ผลลัพธ์ที่สม่ำเสมอ และมีข้อยกเว้นหรือข้อจำกัดบางประการ เช่น ระบบตัวเลขในเวอร์ชันดั้งเดิมกว่า

ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)

เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดบนเส้นจำนวน ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ไม่รวมจำนวนจินตภาพหรือจำนวนเชิงซ้อน

การปิดเป็นคุณสมบัติของชุดตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหากมีการคำนวณที่อนุญาตกับตัวเลขที่เป็นสมาชิกของชุด คำตอบจะเป็นตัวเลขที่เป็นสมาชิกของชุดด้วย ว่ากันว่าปิดชุด

เลขธรรมดา คือ เลขนับ 1, 2, 3... และชุดของจำนวนธรรมชาติไม่ปิด เนื่องจากมีการใช้ตัวเลขธรรมชาติในการค้า ปัญหาสองประการจึงเกิดขึ้นทันที ในขณะที่จำนวนธรรมชาตินับวัตถุจริง เช่น วัว หากเกษตรกรมีวัวห้าตัวและขายวัวห้าตัว ผลลัพท์จะไม่เกิดจำนวนตามธรรมชาติ ระบบตัวเลขเริ่มต้นได้พัฒนาคำศัพท์สำหรับศูนย์อย่างรวดเร็วเพื่อแก้ไขปัญหานี้ ผลที่ได้คือระบบของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติบวกศูนย์

ปัญหาที่สองก็เกี่ยวข้องกับการลบด้วย ตราบใดที่ตัวเลขนับวัตถุจริง เช่น วัว ชาวนาก็ไม่สามารถขายวัวได้มากกว่าที่เขามี แต่เมื่อตัวเลขกลายเป็นนามธรรม การลบจำนวนที่มากกว่าออกจากจำนวนที่น้อยกว่านั้นให้คำตอบนอกระบบของจำนวนเต็ม เป็นผลให้มีการนำจำนวนเต็มซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกจำนวนธรรมชาติติดลบมาใช้ ระบบตัวเลขตอนนี้มีเส้นจำนวนเต็มแต่มีเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น

การคำนวณในระบบเลขปิดควรให้คำตอบจากภายในระบบตัวเลขสำหรับ การดำเนินการเช่นการบวกและการคูณ แต่สำหรับการดำเนินการผกผันการลบและ แผนก. ระบบจำนวนเต็มปิดสำหรับการบวก การลบ และการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการหาร ถ้าจำนวนเต็มถูกหารด้วยจำนวนเต็มอื่น ผลลัพธ์จะไม่เป็นจำนวนเต็มเสมอไป

การหารจำนวนเต็มขนาดเล็กด้วยจำนวนที่มากกว่าจะเป็นเศษส่วน เศษส่วนดังกล่าวถูกบวกเข้ากับระบบจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะถูกกำหนดเป็นจำนวนใดๆ ที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ เลขทศนิยมใดๆ สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้ ตัวอย่างเช่น 2.864 คือ 2864/1000 และ 0.89632 คือ 89632/100,000 ตอนนี้เส้นจำนวนดูเหมือนจะสมบูรณ์แล้ว

มีตัวเลขบนเส้นจำนวนที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ หนึ่งคืออัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ถ้าด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 1 และ 1 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือรากที่สองของ 2 รากที่สองของสองเป็นทศนิยมอนันต์ที่ไม่ซ้ำกัน ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ และรวมถึงจำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่เป็นตรรกยะ ด้วยคำจำกัดความนี้ เส้นจำนวนของจำนวนจริงทั้งหมดจึงสมบูรณ์ เนื่องจากจำนวนจริงอื่นๆ ที่ไม่เป็นตรรกยะรวมอยู่ในคำจำกัดความของอตรรกยะ

แม้ว่าเส้นจำนวนจริงจะขยายจากลบไปเป็นบวกอนันต์ แต่อนันต์เองไม่ใช่ a จำนวนจริงแต่เป็นแนวคิดของระบบตัวเลขที่กำหนดว่าเป็นปริมาณที่มากกว่าใดๆ จำนวน. อนันต์ทางคณิตศาสตร์คือคำตอบของ 1/x เมื่อ x ถึงศูนย์ แต่ไม่ได้กำหนดหารด้วยศูนย์ ถ้าอินฟินิตี้เป็นตัวเลข ก็จะทำให้เกิดความขัดแย้ง เพราะอินฟินิตี้ไม่เป็นไปตามกฎของเลขคณิต ตัวอย่างเช่น อินฟินิตี้บวก 1 ยังคงเป็นอนันต์

เซตของจำนวนจริงจะปิดสำหรับการบวก การลบ การคูณ และการหาร ยกเว้นการหารด้วยศูนย์ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ ชุดไม่ถูกปิดสำหรับการดำเนินการอื่นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

กฎการคูณในชุดจำนวนจริงระบุว่าการคูณค่าลบและ a จำนวนบวกให้จำนวนลบในขณะที่การคูณจำนวนบวกหรือลบให้ค่าบวก คำตอบ ซึ่งหมายความว่ากรณีพิเศษของการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองจะให้ผลเป็นจำนวนบวกสำหรับทั้งจำนวนบวกและลบ ค่าผกผันของกรณีพิเศษนี้คือรากที่สองของจำนวนบวก ซึ่งให้ทั้งคำตอบที่เป็นบวกและลบ สำหรับรากที่สองของจำนวนลบ ไม่มีคำตอบในชุดของจำนวนจริง

แนวคิดของเซตของจำนวนจินตภาพกล่าวถึงปัญหาของรากที่สองที่เป็นลบในจำนวนจริง รากที่สองของลบ 1 ถูกกำหนดเป็น i และจำนวนจินตภาพทั้งหมดเป็นทวีคูณของ i ในการทำให้ทฤษฎีจำนวนสมบูรณ์ เซตของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดให้รวมถึงจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพทั้งหมด จำนวนจริงสามารถแสดงต่อไปบนเส้นจำนวนแนวนอน ในขณะที่จำนวนจินตภาพเป็นเส้นตัวเลขแนวตั้ง โดยที่ทั้งสองตัดกันที่ศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนคือจุดในระนาบของเส้นจำนวนสองเส้น แต่ละเส้นมีองค์ประกอบจริงและจินตภาพ