ความแตกต่างระหว่างกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมนั้นแตกต่างกันมาก ในขณะที่อนุภาคและวัตถุกลศาสตร์คลาสสิกมีตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ในกลศาสตร์ควอนตัม (ก่อนการวัด) a อนุภาคสามารถกล่าวได้ว่ามีช่วงของตำแหน่งที่เป็นไปได้เท่านั้น ซึ่งอธิบายในแง่ของความน่าจะเป็นโดยคลื่น ฟังก์ชัน
สมการชโรดิงเงอร์กำหนดฟังก์ชันคลื่นของระบบกลศาสตร์ควอนตัม และการเรียนรู้วิธีใช้และตีความมันเป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรใดๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้คือ อนุภาคในกล่อง
ฟังก์ชันคลื่น
ในกลศาสตร์ควอนตัม อนุภาคจะถูกแทนด้วย aฟังก์ชันคลื่น. โดยปกติจะเขียนแทนด้วยอักษรกรีก psi (Ψ) และก็ขึ้นอยู่กับทั้งตำแหน่งและเวลา และมีทุกอย่างที่สามารถรู้เกี่ยวกับอนุภาคได้
โมดูลัสของฟังก์ชันนี้กำลังสองบอกคุณถึงความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่ตำแหน่งxในเวลาtให้ฟังก์ชัน "ทำให้เป็นมาตรฐาน" นี่แค่หมายถึงปรับให้หาเจอแน่นอนที่ certainบางตำแหน่งxในขณะนั้นtเมื่อผลลัพธ์ในทุกตำแหน่งถูกสรุป นั่นคือ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานบอกว่า:
\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
คุณสามารถใช้ฟังก์ชันคลื่นเพื่อคำนวณค่าความคาดหวังสำหรับตำแหน่งของอนุภาค ณ เวลานั้นได้
tโดยที่ค่าความคาดหวังหมายถึงค่าเฉลี่ยที่คุณจะได้รับxหากคุณทำการวัดซ้ำหลายครั้ง แน่นอน นี่ไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์ที่คุณจะได้รับจากการวัดใดๆ – นั่นคืออย่างมีประสิทธิภาพสุ่ม แม้ว่าสถานที่บางแห่งมักจะมีโอกาสมากกว่าที่อื่นอย่างมากมีปริมาณอื่นๆ อีกมากมายที่คุณสามารถคำนวณค่าความคาดหวังได้ เช่น ค่าโมเมนตัมและพลังงาน ตลอดจน "ค่าที่สังเกตได้" อื่นๆ อีกมากมาย
สมการชโรดิงเงอร์
สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้ในการหาค่าของฟังก์ชันคลื่นและลักษณะเฉพาะของพลังงานของอนุภาค สมการสามารถได้มาจากการอนุรักษ์พลังงานและการแสดงออกของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของอนุภาค วิธีเขียนที่ง่ายที่สุดคือ
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
แต่ที่นี่โฮเป็นตัวแทนของตัวดำเนินการแฮมิลตันซึ่งในตัวเองเป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างยาว:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
ที่นี่มคือมวล ℏ คือค่าคงที่ของพลังค์หารด้วย2πและวี (x) เป็นฟังก์ชันทั่วไปสำหรับพลังงานศักย์ของระบบ Hamiltonian มีสองส่วนที่แตกต่างกัน เทอมแรกคือพลังงานจลน์ของระบบ และเทอมที่สองคือพลังงานศักย์
ค่าที่สังเกตได้ทุกอย่างในกลศาสตร์ควอนตัมสัมพันธ์กับตัวดำเนินการ และในสมการชโรดิงเงอร์เวอร์ชันที่ไม่ขึ้นกับเวลา แฮมิลตันคือตัวดำเนินการพลังงาน อย่างไรก็ตาม ในเวอร์ชันที่ขึ้นกับเวลาที่แสดงด้านบน Hamiltonian จะสร้างวิวัฒนาการเวลาของฟังก์ชันคลื่นด้วย
เมื่อรวมข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ในสมการเข้าด้วยกัน คุณจะสามารถอธิบายวิวัฒนาการของอนุภาคในอวกาศและเวลา และทำนายค่าพลังงานที่เป็นไปได้ของอนุภาคได้เช่นกัน
สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
ส่วนที่ขึ้นอยู่กับเวลาของสมการสามารถลบออกได้ เพื่ออธิบายสถานการณ์ที่ไม่ได้วิวัฒนาการไปตามเวลาอย่างเห็นได้ชัด โดยแยกฟังก์ชันคลื่นออกเป็นส่วนของอวกาศและเวลา:Ψ(x, t) = Ψ(x) ฉ(t). ส่วนที่ขึ้นกับเวลาสามารถยกเลิกออกจากสมการได้ ซึ่งจะทำให้สมการชโรดิงเงอร์เวอร์ชันไม่ขึ้นกับเวลา:
H Ψ(x) = E (Ψ (x))
อีคือพลังงานของระบบ มีรูปแบบที่แน่นอนของสมการค่าลักษณะเฉพาะด้วยΨ(x) เป็นลักษณะเฉพาะและอีเป็นค่าลักษณะเฉพาะซึ่งเป็นสาเหตุที่สมการไม่ขึ้นกับเวลามักเรียกว่าสมการค่าลักษณะเฉพาะสำหรับพลังงานของระบบกลควอนตัม ฟังก์ชันเวลาถูกกำหนดโดย:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
สมการที่ไม่ขึ้นกับเวลามีประโยชน์เพราะช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นสำหรับสถานการณ์ต่างๆ ที่วิวัฒนาการของเวลาไม่สำคัญเป็นพิเศษ นี่เป็นรูปแบบที่มีประโยชน์ที่สุดสำหรับปัญหา "อนุภาคในกล่อง" และแม้กระทั่งการกำหนดระดับพลังงานสำหรับอิเล็กตรอนรอบอะตอม
อนุภาคในกล่อง (Infinite Square Well)
วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งสำหรับสมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาคือสำหรับอนุภาคในan หลุมสี่เหลี่ยมลึกอนันต์ (เช่น หลุมศักยภาพอนันต์) หรือกล่องฐานหนึ่งมิติ ความยาวหลี่. แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้เป็นการสร้างอุดมคติทางทฤษฎี แต่มันให้แนวคิดพื้นฐานว่าคุณแก้สมการชโรดิงเงอร์ได้อย่างไรโดยไม่ต้องคำนึงถึงความยุ่งยากมากมายที่มีอยู่ในธรรมชาติ
เมื่อตั้งค่าพลังงานศักย์เป็น 0 นอกบ่อน้ำโดยที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็น 0 ด้วย สมการชโรดิงเงอร์สำหรับสถานการณ์นี้จะกลายเป็น:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = อี Ψ(x)
และคำตอบทั่วไปของสมการของแบบฟอร์มนี้คือ:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
อย่างไรก็ตาม การดูเงื่อนไขขอบเขตสามารถช่วยจำกัดขอบเขตให้แคบลงได้ สำหรับx= 0 และx= L นั่นคือ ด้านข้างของกล่องหรือผนังของบ่อน้ำ ฟังก์ชันคลื่นจะต้องไปที่ศูนย์ ฟังก์ชันโคไซน์มีค่า 1 เมื่ออาร์กิวเมนต์เป็น 0 ดังนั้นเพื่อให้เงื่อนไขขอบเขตเป็นไปตามเงื่อนไข ค่าคงที่บีต้องเท่ากับศูนย์ ใบนี้:
Ψ(x) = A \sin (kx)
คุณยังสามารถใช้เงื่อนไขขอบเขตเพื่อตั้งค่าสำหรับk. เนื่องจากฟังก์ชัน sin ไปที่ศูนย์ที่ค่านπ โดยที่จำนวนควอนตัมน= 0, 1, 2, 3… เป็นต้น ซึ่งหมายถึงเมื่อx = หลี่สมการจะทำงานก็ต่อเมื่อk = นπ / หลี่. สุดท้าย คุณสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันคลื่นจะต้องถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อหาค่าของอา(บูรณาการในทุกความเป็นไปได้xค่า เช่น จาก 0 ถึงหลี่จากนั้นตั้งค่าผลลัพธ์เป็น 1 และจัดเรียงใหม่) เพื่อให้ได้นิพจน์สุดท้าย:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
โดยใช้สมการเดิมและผลลัพธ์นี้ คุณจะสามารถแก้หาอีซึ่งให้ผล:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
โปรดทราบว่าความจริงที่ว่า theนอยู่ในนิพจน์นี้หมายความว่าระดับพลังงานคือquantizedจึงรับไม่ได้ใดๆค่าแต่เฉพาะชุดของค่าระดับพลังงานเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่อง ขึ้นอยู่กับมวลของอนุภาคและความยาวของกล่อง
อนุภาคในกล่อง (Finite Square Well)
ปัญหาเดียวกันจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยหากหลุมที่มีศักยภาพมีความสูงของผนังจำกัด ตัวอย่างเช่น ถ้าศักยภาพวี (x) รับค่าวี0 นอกหลุมที่มีศักยภาพและ 0 ภายในนั้น ฟังก์ชันคลื่นสามารถกำหนดได้ในสามภูมิภาคหลักที่ครอบคลุมโดยปัญหา นี่เป็นกระบวนการที่เกี่ยวข้องมากกว่า ดังนั้นที่นี่คุณจะสามารถเห็นผลลัพธ์เท่านั้น แทนที่จะดำเนินการผ่านกระบวนการทั้งหมด
ถ้าบ่อน้ำอยู่ที่x= 0 ถึงx = หลี่อีกครั้งสำหรับภูมิภาคที่x< 0 วิธีแก้ปัญหาคือ:
Ψ(x) = เป็น^{kx}
สำหรับภูมิภาคx > หลี่, มันคือ:
Ψ(x) = เอ๋^{-kx}
ที่ไหน
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
สำหรับบริเวณภายในบ่อน้ำ โดยที่ 0 <x < หลี่วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
ที่ไหน
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
จากนั้นคุณสามารถใช้เงื่อนไขขอบเขตเพื่อกำหนดค่าของค่าคงที่อา, บี, คและดีโดยสังเกตว่า เช่นเดียวกับการมีค่าที่กำหนดไว้ที่ผนังของบ่อน้ำ ฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับแรกของมันจะต้องต่อเนื่องกันทุกที่ และฟังก์ชันคลื่นจะต้องจำกัดทุกที่
ในกรณีอื่นๆ เช่น กล่องตื้น กล่องแคบ และสถานการณ์เฉพาะอื่นๆ อีกมากมาย มีการประมาณค่าและวิธีแก้ปัญหาต่างๆ ที่คุณสามารถหาได้