ใครก็ตามที่เคยเล่นเกมพูลจะคุ้นเคยกับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ไม่ว่าพวกเขาจะรู้ตัวหรือไม่ก็ตาม
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจและทำนายว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อวัตถุมีปฏิสัมพันธ์หรือชนกัน กฎข้อนี้ทำนายการเคลื่อนที่ของลูกบิลเลียดและเป็นตัวกำหนดว่าลูกแปดลูกนั้นเข้าช่องมุมหรือไม่
โมเมนตัมคืออะไร?
โมเมนตัมถูกกำหนดเป็นผลคูณของมวลและความเร็วของวัตถุ ในรูปแบบสมการ มักจะเขียนเป็นp = mv.
เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งหมายความว่ามีทิศทางที่เกี่ยวข้องกัน ทิศทางของเวกเตอร์โมเมนตัมของวัตถุมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ความเร็วของวัตถุ
โมเมนตัมของระบบที่แยกออกมาคือผลรวมของโมเมนตัมของแต่ละออบเจกต์ในระบบนั้น ระบบแยกคือระบบของการโต้ตอบกับวัตถุที่ไม่ได้โต้ตอบกับสิ่งอื่นใดทางเน็ต กล่าวคือไม่มีแรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อระบบ
การศึกษาโมเมนตัมทั้งหมดในระบบที่แยกออกมานั้นมีความสำคัญ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถคาดการณ์ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับวัตถุในระบบระหว่างการชนและการโต้ตอบ
กฎหมายการอนุรักษ์คืออะไร?
ก่อนที่จะเริ่มทำความเข้าใจกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่า "ปริมาณที่อนุรักษ์" หมายถึงอะไร
การอนุรักษ์บางสิ่งบางอย่างหมายถึงการป้องกันของเสียหรือการสูญเสียไปในทางใดทางหนึ่ง ในทางฟิสิกส์ กล่าวกันว่าปริมาณจะถูกอนุรักษ์ไว้หากค่าคงที่ คุณอาจเคยได้ยินสำนวนที่เกี่ยวข้องกับการอนุรักษ์พลังงาน ซึ่งเป็นแนวคิดที่ว่าพลังงานไม่สามารถสร้างหรือทำลายได้ แต่จะเปลี่ยนแปลงเฉพาะรูปแบบเท่านั้น ดังนั้นยอดรวมจึงคงที่
เมื่อเราพูดถึงการอนุรักษ์โมเมนตัม เรากำลังพูดถึงปริมาณโมเมนตัมทั้งหมดที่คงที่ โมเมนตัมนี้สามารถถ่ายโอนจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งภายในระบบที่แยกได้ และยังคงได้รับการพิจารณาอนุรักษ์หากโมเมนตัมทั้งหมดในระบบนั้นไม่เปลี่ยนแปลง
กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถได้มาจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน พึงระลึกไว้ว่ากฎข้อนี้เกี่ยวข้องกับแรงสุทธิ มวล และความเร่งของวัตถุเป็นFสุทธิ = หม่า.
เคล็ดลับคือให้คิดว่าแรงสุทธินี้มีผลกับระบบโดยรวม กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมจะใช้เมื่อแรงสุทธิบนระบบเป็น 0 ซึ่งหมายความว่า สำหรับแต่ละอ็อบเจ็กต์ในระบบ แรงเดียวที่อาจกระทำกับออบเจ็กต์นั้นต้องมาจากอ็อบเจ็กต์อื่นภายในระบบ มิฉะนั้นจะถูกยกเลิกอย่างใด
แรงภายนอกอาจเป็นแรงเสียดทาน แรงโน้มถ่วง หรือแรงต้านของอากาศ สิ่งเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องกระทำการ หรือต้องถูกตอบโต้ เพื่อทำให้แรงสุทธิบนระบบเป็น 0
คุณสามารถเริ่มต้นการสืบทอดด้วยคำสั่งFสุทธิ = ma = 0.
มในกรณีนี้คือมวลของระบบทั้งหมด ความเร่งที่เป็นปัญหาคือความเร่งสุทธิของระบบ ซึ่งหมายถึงความเร่ง ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ (จุดศูนย์กลางมวลคือตำแหน่งเฉลี่ยของระบบทั้งหมด มวล.)
เพื่อให้แรงสุทธิเป็น 0 ความเร่งต้องเป็น 0 ด้วย เนื่องจากความเร่งคือการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป นี่หมายความว่าความเร็วจะต้องไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวอีกนัยหนึ่งความเร็วคงที่ ดังนั้นเราจึงได้รับข้อความว่าmvซม= ค่าคงที่
ที่ไหนวีซมคือ ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล กำหนดโดยสูตร:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
ดังนั้นตอนนี้คำสั่งลดลงเป็น:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ข้อความ{ค่าคงที่}
นี่คือสมการที่อธิบายการอนุรักษ์โมเมนตัม แต่ละเทอมคือโมเมนตัมของหนึ่งในออบเจกต์ในระบบ และผลรวมของโมเมนตัมทั้งหมดต้องคงที่ อีกวิธีในการแสดงสิ่งนี้คือการระบุว่า:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
ที่ตัวห้อยผมหมายถึงค่าเริ่มต้นและฉกับค่าสุดท้าย มักจะเกิดขึ้นก่อนและหลังการโต้ตอบบางอย่าง เช่น การชนกันระหว่างอ็อบเจ็กต์ในระบบ
การชนกันแบบยืดหยุ่นและไม่ยืดหยุ่น
เหตุผลที่กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมมีความสำคัญก็คือมันสามารถช่วยให้คุณแก้สมการหา ความเร็วสุดท้ายที่ไม่ทราบสาเหตุหรือสิ่งที่คล้ายกันสำหรับวัตถุในระบบแยกที่อาจชนกับแต่ละวัตถุ อื่นๆ.
มีสองวิธีหลักในการชนกันดังกล่าว: แบบยืดหยุ่นหรือแบบไม่ยืดหยุ่น
การชนกันแบบยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์เป็นการชนกันของวัตถุที่ชนกันกระเด็นออกจากกัน การชนแบบนี้มีลักษณะการอนุรักษ์พลังงานจลน์ พลังงานจลน์ของวัตถุถูกกำหนดโดยสูตร:
KE = \frac{1}{2}mv^2
หากอนุรักษ์พลังงานจลน์ ผลรวมของพลังงานจลน์ของวัตถุทั้งหมดในระบบจะต้องคงที่ทั้งก่อนและหลังการชนใดๆ การใช้การอนุรักษ์พลังงานจลน์ร่วมกับการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถช่วยให้คุณแก้ความเร็วสุดท้ายหรือความเร็วเริ่มต้นในระบบการชนกันมากกว่าหนึ่งรอบ
การชนกันที่ไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์เกิดขึ้นเมื่อวัตถุสองชิ้นชนกัน ติดกัน และเคลื่อนที่เป็นมวลเอกพจน์ในภายหลัง สิ่งนี้สามารถช่วยลดความซับซ้อนของปัญหาได้เช่นกัน เนื่องจากคุณจำเป็นต้องกำหนดความเร็วสุดท้ายเพียงความเร็วเดียวแทนที่จะเป็นสองความเร็ว
ในขณะที่โมเมนตัมถูกสงวนไว้ในการชนทั้งสองประเภท พลังงานจลน์จะถูกสงวนไว้ในการชนแบบยืดหยุ่นเท่านั้น การชนกันในชีวิตจริงส่วนใหญ่ไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์หรือไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์ แต่อยู่ที่ใดที่หนึ่งในระหว่างนั้น
การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
สิ่งที่ได้อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้คือการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น มีโมเมนตัมอีกประเภทหนึ่งที่ใช้กับการเคลื่อนที่แบบหมุนที่เรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุม
เช่นเดียวกับโมเมนตัมเชิงเส้น โมเมนตัมเชิงมุมก็ถูกสงวนไว้เช่นกัน โมเมนตัมเชิงมุมขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุและมวลนั้นอยู่ห่างจากแกนหมุนเท่าใด
เมื่อนักสเก็ตลีลาหมุน คุณจะเห็นพวกเขาหมุนเร็วขึ้นเมื่อพวกเขาเอาแขนเข้าใกล้ร่างกายมากขึ้น นี่เป็นเพราะโมเมนตัมเชิงมุมของพวกมันจะถูกสงวนไว้ก็ต่อเมื่อความเร็วในการหมุนของพวกมันเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนกับระยะที่พวกมันนำแขนมาที่ศูนย์กลาง
ตัวอย่างปัญหาการอนุรักษ์โมเมนตัม
ตัวอย่างที่ 1:ลูกบิลเลียดสองลูกที่มีมวลเท่ากันกลิ้งเข้าหากัน ตัวหนึ่งเดินทางด้วยความเร็วเริ่มต้น 2 m/s และอีกตัวเดินทางด้วยความเร็ว 4 m/s ถ้าการชนกันของลูกบอลนั้นยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์ ความเร็วสุดท้ายของแต่ละลูกจะเป็นเท่าไร?
โซลูชันที่ 1:การเลือกระบบพิกัดเป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหานี้ เนื่องจากทุกอย่างเกิดขึ้นเป็นเส้นตรง คุณอาจตัดสินใจว่าการเคลื่อนไหวไปทางขวาเป็นบวก และการเคลื่อนไหวไปทางซ้ายเป็นลบ สมมติว่าลูกแรกเคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยความเร็ว 2m/s ความเร็วของลูกบอลที่สองคือ -4m/s
เขียนนิพจน์สำหรับโมเมนตัมทั้งหมดของระบบก่อนการชน เช่นเดียวกับพลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบก่อนการชน:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
เสียบค่าเพื่อรับนิพจน์สำหรับแต่ละรายการ:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
โปรดทราบว่าเนื่องจากคุณไม่ได้รับค่าสำหรับมวล ค่าเหล่านี้จึงยังไม่ทราบ แม้ว่ามวลทั้งสองจะเท่ากัน ซึ่งทำให้เข้าใจง่ายขึ้นบ้าง
หลังจากการชน การแสดงออกของโมเมนตัมและพลังงานจลน์คือ:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
โดยการตั้งค่าเริ่มต้นให้เท่ากับค่าสุดท้ายของแต่ละรายการ คุณสามารถยกเลิกมวลได้ จากนั้นคุณจะเหลือระบบสมการสองสมการและปริมาณที่ไม่รู้จักสองปริมาณ:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \implies v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \หมายถึง v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
การแก้ระบบพีชคณิตให้คำตอบต่อไปนี้:
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
คุณจะสังเกตได้ว่าเนื่องจากลูกบอลทั้งสองมีมวลเท่ากัน พวกมันจึงแลกเปลี่ยนความเร็วเป็นหลัก
ตัวอย่างที่ 2:รถยนต์ขนาด 1,200 กก. ที่วิ่งไปทางตะวันออกด้วยความเร็ว 20 ไมล์ต่อชั่วโมง ชนกันกับรถบรรทุกขนาด 3,000 กก. ที่กำลังแล่นไปทางตะวันตกด้วยความเร็ว 15 ไมล์ต่อชั่วโมง รถทั้งสองคันติดกันเมื่อชนกัน พวกมันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสุดท้ายเท่าใด
โซลูชันที่ 2:สิ่งหนึ่งที่ควรทราบเกี่ยวกับปัญหานี้คือหน่วย หน่วย SI สำหรับโมเมนตัมคือ kg⋅m/s อย่างไรก็ตาม คุณจะได้รับมวลเป็นกก. และความเร็วเป็นไมล์ต่อชั่วโมง โปรดทราบว่าตราบใดที่ความเร็วทั้งหมดอยู่ในหน่วยที่สม่ำเสมอ ไม่จำเป็นต้องมีการแปลง เมื่อคุณแก้หาความเร็วสุดท้าย คำตอบของคุณจะอยู่ในหน่วยไมล์ต่อชั่วโมง
โมเมนตัมเริ่มต้นของระบบสามารถแสดงเป็น:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21,000 \text{ kg}\times\text{mph}
โมเมนตัมสุดท้ายของระบบสามารถแสดงเป็น:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมบอกคุณว่าค่าเริ่มต้นและค่าสุดท้ายเหล่านี้ควรเท่ากัน คุณสามารถแก้หาความเร็วสุดท้ายได้โดยการตั้งค่าโมเมนตัมเริ่มต้นเท่ากับโมเมนตัมสุดท้าย แก้หาความเร็วสุดท้ายดังนี้:
4200v_f = -21,000 \implies v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
ตัวอย่างที่ 3:แสดงว่าไม่มีการอนุรักษ์พลังงานจลน์ในคำถามก่อนหน้านี้ที่เกี่ยวข้องกับการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นระหว่างรถกับรถบรรทุก
โซลูชันที่ 3:พลังงานจลน์เริ่มต้นของระบบนั้นคือ:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557,500 \ข้อความ{ kg (mph)}^2
พลังงานจลน์สุดท้ายของระบบคือ:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52,500 \text{ kg (mph)}^2
เนื่องจากพลังงานจลน์รวมเริ่มต้นและพลังงานจลน์สุดท้ายทั้งหมดไม่เท่ากัน คุณจึงสรุปได้ว่าพลังงานจลน์ไม่ได้ถูกอนุรักษ์ไว้