ผลคูณของปริมาณสเกลาร์สองปริมาณคือสเกลาร์ และผลิตภัณฑ์ของสเกลาร์ที่มีเวกเตอร์คือเวกเตอร์ แล้วผลคูณของเวกเตอร์สองตัวล่ะ? มันเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์อื่นหรือไม่? คำตอบคือ อาจเป็นได้!
มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยกัน หนึ่งคือการหาดอทโปรดัคซึ่งได้สเกลาร์ และอีกอันคือการหาผลคูณของพวกมัน ซึ่งได้เวกเตอร์อีกตัวหนึ่ง ผลิตภัณฑ์ใดที่จะใช้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์เฉพาะและปริมาณที่คุณพยายามค้นหา
สินค้าจุดบางครั้งเรียกว่าผลิตภัณฑ์สเกลาร์หรือสินค้าภายใน. ในเชิงเรขาคณิต คุณสามารถนึกถึงดอทโปรดัคระหว่างเวกเตอร์สองตัวเพื่อเป็นการคูณค่าเวกเตอร์ที่นับเฉพาะการมีส่วนร่วมในทิศทางเดียวกันเท่านั้น
- หมายเหตุ: ผลิตภัณฑ์ Dot อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวก แต่เครื่องหมายนั้นไม่ใช่ตัวบ่งชี้ทิศทาง แม้ว่าในมิติเดียว ทิศทางเวกเตอร์มักถูกระบุด้วยเครื่องหมาย แต่ปริมาณสเกลาร์ก็สามารถมีสัญญาณที่เกี่ยวข้องกับทิศทางเหล่านั้นซึ่งไม่ใช่ตัวบ่งชี้ทิศทางได้ หนี้เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งในหลายๆ ตัวอย่างในเรื่องนี้
คำจำกัดความของ Dot Product
ผลคูณดอทของเวกเตอร์ = (ax, แy)และข = (ขx, ขy)ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐานกำหนดไว้ดังนี้
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
เมื่อคุณใช้ดอทโปรดัคของเวกเตอร์กับตัวเอง ความสัมพันธ์ที่น่าสนใจจะเกิดขึ้น:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
ที่ไหน || คือขนาด (ความยาว) ของโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สูตรดอทโปรดัคอีกสูตรหนึ่งสามารถหาได้โดยใช้กฎของโคไซน์ สิ่งนี้ทำได้ดังนี้:
พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และขพร้อมกับความแตกต่างของเวกเตอร์เอ - บี. จัดเรียงเวกเตอร์สามตัวให้เป็นรูปสามเหลี่ยม
กฎของโคไซน์จากตรีโกณมิติบอกเราว่า:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
และใช้คำจำกัดความของดอทโปรดัค เราได้รับ:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot ข}
การตั้งค่านิพจน์ทั้งสองให้เท่ากันแล้วลดความซับซ้อน เราจะได้:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \ยกเลิก{|\ตัวหนา{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\แปลว่า \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
สูตรนี้ช่วยให้สัญชาตญาณเรขาคณิตของเราเข้ามามีบทบาท ปริมาณ ||cos (θ) คือขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ข.
เราจึงคิดได้ว่าดอทโปรดัคเป็นการฉายภาพเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่ง แล้วเป็นผลคูณของค่าของพวกมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถเห็นเป็นผลคูณของเวกเตอร์หนึ่งกับปริมาณของเวกเตอร์อื่นในทิศทางเดียวกับตัวมันเอง
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท
ต่อไปนี้คือคุณสมบัติหลายประการของ dot product ที่คุณอาจพบว่ามีประโยชน์:
###\ข้อความ{1. ถ้า } \theta = 0\text{ แล้ว } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
นี่เป็นเพราะว่า cos (0) = 1
###\ข้อความ{2. ถ้า } \theta = 180\text{ แล้ว }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
นี่เป็นเพราะ cos (180) = -1
###\ข้อความ{3. ถ้า } \theta = 90\text{ แล้ว } \bold{a \cdot b} = 0
นี่เป็นเพราะ cos (90) = 0
- หมายเหตุ: สำหรับ 0 <
θ
< 90 ผลิตภัณฑ์ดอทจะเป็นค่าบวก และสำหรับ 90 <
θ
<180 ผลิตภัณฑ์ดอทจะเป็นค่าลบ
###\ข้อความ{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
ต่อไปนี้จากการใช้กฎการสลับกับคำนิยามผลิตภัณฑ์ดอท
###\ข้อความ{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
หลักฐาน:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \ตัวหนา{a\cdot c}
###\ข้อความ{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
หลักฐาน:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ ตัวหนา{b}
วิธีค้นหา Dot Product
ตัวอย่างที่ 1:ในวิชาฟิสิกส์ งานที่ทำโดยแรงFบนวัตถุในขณะที่มันผ่านการกระจัดd, ถูกกำหนดเป็น:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
โดยที่ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์แรงกับเวกเตอร์การกระจัด
ปริมาณงานที่ทำโดยแรงเป็นตัวบ่งชี้ว่าแรงนั้นมีส่วนทำให้เกิดการกระจัดมากน้อยเพียงใด หากแรงอยู่ในทิศทางเดียวกับการกระจัด (cos (θ) = 0) ก็จะมีส่วนสนับสนุนสูงสุด ถ้ามันตั้งฉากกับการกระจัด (cos(Ѳ) = 90) มันไม่มีส่วนสนับสนุนเลย และถ้ามันอยู่ตรงข้ามกับการกระจัด (cos (θ) = 180) ก็มีส่วนสนับสนุนเชิงลบ
สมมติว่าเด็กคนหนึ่งผลักรถไฟของเล่นข้ามรางโดยใช้แรง 5 N ที่มุม 25 องศาเทียบกับเส้นของราง เด็กทำงานบนรถไฟเมื่อเคลื่อนย้าย 0.5 ม. มากแค่ไหน?
สารละลาย:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0.5\text{ m}\\ \theta = 25\degree\\
โดยใช้คำจำกัดความของงาน dot product และเสียบค่าที่เราได้รับ:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{ J}}
จากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมนี้ ควรมีความชัดเจนยิ่งขึ้นว่าการใช้แรงตั้งฉากกับทิศทางการกระจัดจะไม่ทำงาน หากเด็กผลักรถไฟเป็นมุมฉากกับรางรถไฟจะไม่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าหรือข้างหลังตามราง นอกจากนี้ ยังเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่างานที่เด็กทำบนรถไฟจะเพิ่มขึ้นเมื่อมุมลดลง และแรงและการกระจัดจะใกล้เคียงกับการจัดตำแหน่งมากขึ้น
ตัวอย่างที่ 2:กำลังเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของปริมาณทางกายภาพที่สามารถคำนวณได้โดยใช้ผลคูณดอท ในทางฟิสิกส์ กำลังเท่ากับงานหารด้วยเวลา แต่สามารถเขียนเป็นผลคูณดอทของแรงและความเร็วได้ดังที่แสดง
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
ที่ไหนวีคือความเร็ว
พิจารณาตัวอย่างก่อนหน้าของเด็กที่เล่นกับรถไฟ หากเราได้รับแจ้งว่ามีการใช้แรงแบบเดียวกันทำให้รถไฟเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 2 เมตร/วินาทีตามราง เราจะใช้ผลิตภัณฑ์ดอทเพื่อหากำลังได้:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9.06\text{ วัตต์}
ตัวอย่างที่ 3:อีกตัวอย่างหนึ่งที่ใช้ผลิตภัณฑ์ดอทในฟิสิกส์ในกรณีของฟลักซ์แม่เหล็ก ฟลักซ์แม่เหล็กคือปริมาณสนามแม่เหล็กที่ไหลผ่านพื้นที่ที่กำหนด พบว่าเป็นผลคูณดอทของสนามแม่เหล็กบีกับพื้นที่อา. (ทิศทางของเวกเตอร์พื้นที่คือปกติหรือตั้งฉากกับพื้นผิวของพื้นที่)
\Phi=\bold{B\cdot A}
สมมติว่าสนาม 0.02 เทสลาผ่านวงลวดรัศมี 10 ซม. ทำมุม 30 องศากับเส้นปกติ ฟลักซ์คืออะไร?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0.02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0.000544\text{ Wb}
เมื่อฟลักซ์นี้เปลี่ยนแปลง ไม่ว่าจะโดยการเปลี่ยนค่าฟิลด์ การเปลี่ยนพื้นที่ลูป หรือการเปลี่ยน มุมโดยการหมุนแหล่งกำเนิดของลูปหรือสนาม กระแสจะถูกเหนี่ยวนำในลูปทำให้เกิด, ไฟฟ้า!
โปรดสังเกตอีกครั้งว่ามุมนั้นมีความเกี่ยวข้องอย่างไรในวิธีที่สัญชาตญาณ ถ้ามุมเท่ากับ 90 องศา นี่หมายความว่าสนามจะอยู่บนระนาบเดียวกันกับพื้นที่และไม่มีเส้นสนามใดจะลอดผ่านวงจร ส่งผลให้ไม่มีฟลักซ์ ปริมาณฟลักซ์จะเพิ่มมุมระหว่างสนามและค่าปกติเป็น 0 มากขึ้น ผลิตภัณฑ์ดอทช่วยให้เราสามารถกำหนดว่าสนามอยู่ในทิศทางปกติของพื้นผิวเท่าใด และด้วยเหตุนี้จึงมีส่วนทำให้เกิดฟลักซ์
การฉายภาพเวกเตอร์และ Dot Product
ในส่วนก่อนหน้านี้ มีการกล่าวถึงดอทโปรดัคว่าเป็นวิธีการฉายเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์หนึ่ง แล้วคูณขนาดของพวกมัน ดังนั้น จึงไม่น่าแปลกใจเลยที่สูตรสำหรับการฉายภาพเวกเตอร์สามารถได้มาจากผลคูณดอท
เพื่อที่จะฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ข, เรานำผลคูณดอทของกับเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของขแล้วคูณผลลัพธ์สเกลาร์นี้ด้วยเวกเตอร์หน่วยเดียวกัน
เวกเตอร์หน่วยเป็นเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 ซึ่งอยู่ในทิศทางเฉพาะ เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของเวกเตอร์ขเป็นเพียงเวกเตอร์ขหารด้วยขนาดของมัน:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
ดังนั้นประมาณการนี้ก็คือ:
\text{โครงของ }\bold{a}\text{ เข้าสู่ }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\ใหญ่)\ตัวหนา{b}
ผลิตภัณฑ์ Dot ในมิติที่สูงขึ้น
เวกเตอร์มีอยู่ในมิติที่สูงกว่า ดอทโปรดัคก็เช่นกัน ลองนึกภาพตัวอย่างของเด็กดันรถไฟอีกครั้ง สมมุติว่าเธอผลักทั้งสองข้างลงและทำมุมไปด้านข้างของราง ในระบบพิกัดมาตรฐาน เวกเตอร์แรงและการกระจัดจะต้องแสดงเป็นสามมิติ
ในนมิติข้อมูลผลิตภัณฑ์ดอทถูกกำหนดดังนี้:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
คุณสมบัติดอทผลิตภัณฑ์เดิมทั้งหมดยังคงใช้อยู่ และกฎของโคไซน์ให้ความสัมพันธ์อีกครั้ง:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
เมื่อหาขนาดของเวกเตอร์แต่ละตัวได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ ให้สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้ง:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
วิธีค้นหาผลิตภัณฑ์ Dot ในสามมิติ
ตัวอย่างที่ 1:ผลิตภัณฑ์ดอทมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อต้องการค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการกำหนดมุมระหว่าง= (2, 3, 2) และข= (1, 4, 0). แม้ว่าคุณจะร่างเวกเตอร์สองตัวนั้นใน 3 สเปซ แต่ก็อาจเป็นเรื่องยากมากที่จะเอาศีรษะของคุณไปรอบ ๆ เรขาคณิต แต่คณิตศาสตร์ค่อนข้างตรงไปตรงมา โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implies \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ ตัวหนา{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)
จากนั้นคำนวณผลคูณดอทของและข:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
และคำนวณขนาดของเวกเตอร์แต่ละตัว:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
และในที่สุด เมื่อเสียบทุกอย่างเข้าไป เราได้รับ:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\degree}
ตัวอย่างที่ 2:ประจุบวกอยู่ที่จุดพิกัด (3, 5, 4) ในพื้นที่สามมิติ ที่จุดใดตามแนวเส้นที่ชี้ไปในทิศทางของเวกเตอร์= (6, 9, 5) คือสนามไฟฟ้าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด?
วิธีแก้ปัญหา: จากความรู้ของเราว่าความแรงของสนามไฟฟ้าสัมพันธ์กับระยะทางอย่างไร เรารู้ว่าจุดนั้น บนเส้นที่ใกล้กับประจุบวกมากที่สุดคือตำแหน่งที่สนามจะเป็น แข็งแกร่งที่สุด จากความรู้ของเราเกี่ยวกับดอทโปรดัค เราอาจเดาได้ว่าการใช้สูตรการฉายภาพนั้นสมเหตุสมผลแล้ว สูตรนั้นควรให้เวกเตอร์ซึ่งจุดปลายอยู่ที่จุดที่เรากำลังมองหาพอดี
เราต้องคำนวณ:
\text{โปรเจ็กต์ของ }(3, 5, 4)\text{ ไปยัง }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ ก}|^2}\ใหญ่)\ตัวหนา{a}
ก่อนอื่นให้ค้นหา ||2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
จากนั้นผลิตภัณฑ์ดอท:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
หารด้วย ||2 ให้ 83/142 = 0.585 แล้วคูณสเกลาร์นี้ด้วยให้:
0.585\ตัวหนา{a}=0.585 \ครั้ง (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
ดังนั้นจุดตามแนวเส้นที่สนามแข็งแกร่งที่สุดคือ (3.51, 5.27, 2.93)