สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการพื้นฐานที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัม และการเรียนรู้วิธีใช้งานและความหมายเป็นสิ่งสำคัญสำหรับนักฟิสิกส์รุ่นใหม่ สมการนี้ตั้งชื่อตาม Erwin Schrödinger ผู้ได้รับรางวัลโนเบลร่วมกับ Paul Dirac ในปี 1933 จากการมีส่วนร่วมในฟิสิกส์ควอนตัม
สมการของชโรดิงเงอร์อธิบายฟังก์ชันคลื่นของระบบกลควอนตัมซึ่งให้ ข้อมูลความน่าจะเป็นเกี่ยวกับตำแหน่งของอนุภาคและปริมาณที่สังเกตได้อื่นๆ เช่น โมเมนตัม. สิ่งที่สำคัญที่สุดที่คุณจะรู้เกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมหลังจากเรียนรู้เกี่ยวกับสมการก็คือ กฎในขอบเขตควอนตัมคือต่างกันมากจากกลศาสตร์คลาสสิก
ฟังก์ชันคลื่น
ฟังก์ชันคลื่นเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากทุกอนุภาคจะแสดงด้วยฟังก์ชันคลื่น โดยทั่วไปจะได้รับอักษรกรีก psi (Ψ) และขึ้นอยู่กับตำแหน่งและเวลา เมื่อคุณมีนิพจน์สำหรับฟังก์ชันคลื่นของอนุภาค มันจะบอกคุณทุกอย่างที่คุณทราบได้ ระบบกายภาพและค่าต่างๆ สำหรับปริมาณที่สังเกตได้ สามารถรับได้โดยการใช้ตัวดำเนินการกับ มัน.
กำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่นบอกคุณถึงความน่าจะเป็นที่จะหาอนุภาคที่ตำแหน่งxในเวลาที่กำหนดt. นี่เป็นเพียงกรณีที่ฟังก์ชัน "ทำให้เป็นมาตรฐาน" ซึ่งหมายความว่าผลรวมของโมดูลัสกำลังสองในตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะต้องเท่ากับ 1 นั่นคืออนุภาคนั้น
แน่นอนที่จะตั้งอยู่บางแห่ง.โปรดทราบว่าฟังก์ชันคลื่นจะให้ข้อมูลความน่าจะเป็นเท่านั้น ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถคาดการณ์ผลลัพธ์ของการสังเกตใดๆ ได้ แม้ว่าคุณสามารถกำหนดค่าเฉลี่ยของการวัดจำนวนมาก
คุณสามารถใช้ฟังก์ชันคลื่นเพื่อคำนวณ“คุณค่าที่คาดหวัง”สำหรับตำแหน่งของอนุภาคในเวลาtโดยค่าคาดหวังจะเป็นค่าเฉลี่ยของxคุณจะได้รับหากคุณทำการวัดซ้ำหลายครั้ง
อีกครั้ง นี่ไม่ได้บอกอะไรคุณเกี่ยวกับการวัดค่าใดค่าหนึ่ง อันที่จริง ฟังก์ชันคลื่นเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของอนุภาคตัวเดียวมากกว่าสิ่งใดที่เป็นรูปธรรมและเชื่อถือได้ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการที่เหมาะสม คุณยังสามารถรับค่าคาดหวังสำหรับโมเมนตัม พลังงาน และปริมาณที่สังเกตได้อื่นๆ
สมการชโรดิงเงอร์
สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นตรงที่อธิบายวิวัฒนาการของ a สถานะควอนตัมในลักษณะเดียวกับกฎของนิวตัน (โดยเฉพาะกฎข้อที่สอง) ในแบบคลาสสิก กลศาสตร์.
อย่างไรก็ตาม สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการคลื่นสำหรับฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคที่เป็นปัญหา ดังนั้น การใช้สมการในการทำนายสถานะในอนาคต ของระบบบางครั้งเรียกว่า "กลศาสตร์คลื่น" สมการนั้นมาจากการอนุรักษ์พลังงานและสร้างขึ้นจากตัวดำเนินการที่เรียกว่า แฮมิลตัน.
รูปแบบที่ง่ายที่สุดของสมการชโรดิงเงอร์ในการเขียนคือ:
H Ψ = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
โดยที่ ℏ คือค่าคงที่ของพลังค์ลดลง (เช่น ค่าคงที่หารด้วย2π) และโฮเป็นตัวดำเนินการ Hamiltonian ซึ่งสอดคล้องกับผลรวมของพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ (พลังงานทั้งหมด) ของระบบควอนตัม Hamiltonian เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างยาว ดังนั้นสมการเต็มสามารถเขียนได้ดังนี้:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
โดยสังเกตว่าบางครั้ง (สำหรับปัญหาสามมิติอย่างชัดเจน) อนุพันธ์ย่อยส่วนแรกจะถูกเขียนเป็นตัวดำเนินการ Laplacian ∇2. โดยพื้นฐานแล้ว Hamiltonian ทำหน้าที่เกี่ยวกับคลื่นเพื่ออธิบายวิวัฒนาการในอวกาศและเวลา แต่ในสมการเวอร์ชันที่ไม่ขึ้นกับเวลา (เช่น เมื่อระบบไม่ขึ้นอยู่กับt) Hamiltonian ให้พลังงานแก่ระบบ
การแก้สมการชโรดิงเงอร์หมายถึงการหาฟังก์ชันคลื่นกลควอนตัมที่ตอบโจทย์สถานการณ์เฉพาะ
สมการชโรดิงเงอร์ขึ้นอยู่กับเวลา
สมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลาเป็นเวอร์ชันจากส่วนก่อนหน้า และอธิบายวิวัฒนาการของฟังก์ชันคลื่นสำหรับอนุภาคในเวลาและพื้นที่ กรณีง่ายๆที่ต้องพิจารณาคืออนุภาคอิสระเพราะพลังงานศักย์วี= 0 และสารละลายจะอยู่ในรูปของคลื่นระนาบ โซลูชันเหล่านี้มีรูปแบบ:
Ψ = เอ๋^{kx −ωt}
ที่ไหนk = 2π / λ, λคือความยาวคลื่น และω = อี / ℏ.
สำหรับสถานการณ์อื่นๆ ส่วนพลังงานศักย์ของสมการดั้งเดิมจะอธิบายเงื่อนไขขอบเขตสำหรับ ส่วนเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันคลื่น และมักจะแยกออกเป็นฟังก์ชันวิวัฒนาการเวลาและไม่ขึ้นกับเวลา สมการ
สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
สำหรับสถานการณ์ที่อยู่นิ่งหรือวิธีแก้ปัญหาที่ก่อให้เกิดคลื่นนิ่ง (เช่น หลุมที่อาจเกิดขึ้น โซลูชันสไตล์ "อนุภาคในกล่อง") คุณสามารถแยกฟังก์ชันคลื่นออกเป็นส่วน ๆ ของเวลาและอวกาศได้:
Ψ(x, เสื้อ) = Ψ(x) ฉ (เสื้อ)
เมื่อคุณทำเต็มที่แล้ว ส่วนของเวลาสามารถยกเลิกได้ โดยเหลือรูปแบบของสมการชโรดิงเงอร์ที่เท่านั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของอนุภาค ฟังก์ชันคลื่นอิสระเวลาถูกกำหนดโดย:
H Ψ(x) = E Ψ(x)
ที่นี่อีคือพลังงานของระบบกลควอนตัมและโฮเป็นตัวดำเนินการ Hamiltonian รูปแบบของสมการนี้ใช้รูปแบบที่แน่นอนของสมการค่าลักษณะเฉพาะ โดยมีฟังก์ชันคลื่น เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ และพลังงานเป็นค่าลักษณะเฉพาะเมื่อใช้ตัวดำเนินการแฮมิลตัน กับมัน การขยาย Hamiltonian ให้อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจนยิ่งขึ้น สามารถเขียนแบบเต็มได้ดังนี้:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
ส่วนเวลาของสมการอยู่ในฟังก์ชัน:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
คำตอบของสมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
สมการชโรดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาช่วยให้แก้สมการได้ค่อนข้างตรงไปตรงมา เพราะมันตัดทอนรูปแบบเต็มของสมการ ตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของสิ่งนี้คือกลุ่มของสารละลาย "อนุภาคในกล่อง" ซึ่งถือว่าอนุภาคอยู่ในหลุมสี่เหลี่ยมจัตุรัสอนันต์ในมิติเดียว ดังนั้นจึงไม่มีศักย์ไฟฟ้า (เช่นวี= 0) ตลอดและไม่มีโอกาสพบอนุภาคนอกบ่อ
นอกจากนี้ยังมีหลุมสี่เหลี่ยมจตุรัสซึ่งศักยภาพที่ "กำแพง" ของบ่อน้ำนั้นไม่มีที่สิ้นสุดและถึงแม้จะสูงกว่าพลังงานของอนุภาคก็มีบางความเป็นไปได้ในการค้นหาอนุภาคภายนอกเนื่องจากการขุดอุโมงค์ควอนตัม สำหรับบ่อน้ำที่มีศักยภาพไม่มีที่สิ้นสุด การแก้ปัญหาจะอยู่ในรูปแบบ:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
ที่ไหนหลี่คือความยาวของบ่อ
ศักย์ของฟังก์ชันเดลต้าเป็นแนวคิดที่คล้ายคลึงกันมากกับหลุมที่มีศักยภาพ ยกเว้นความกว้าง withหลี่ไปเป็นศูนย์ (กล่าวคือ มีจุดน้อยรอบจุดเดียว) และความลึกของบ่อน้ำจะถึงจุดอนันต์ ในขณะที่ผลคูณของทั้งสอง (ยู0) คงที่ ในสถานการณ์ที่เป็นอุดมคตินี้ มีสถานะผูกมัดเดียวเท่านั้น กำหนดโดย:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
ด้วยพลังงาน:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
สารละลายไฮโดรเจนอะตอมกับสมการชโรดิงเงอร์
ในที่สุด สารละลายอะตอมไฮโดรเจนมีการใช้งานที่ชัดเจนกับฟิสิกส์ในโลกแห่งความเป็นจริง แต่ในทางปฏิบัติสถานการณ์ the สำหรับอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสของอะตอมไฮโดรเจนนั้นสามารถเห็นได้ค่อนข้างใกล้เคียงกับศักย์ไฟฟ้าเช่นกัน ปัญหา อย่างไรก็ตาม สถานการณ์เป็นแบบสามมิติและอธิบายได้ดีที่สุดในรูปแบบพิกัดทรงกลมr, θ, ϕ. การแก้ปัญหาในกรณีนี้ถูกกำหนดโดย:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
ที่ไหนพีคือพหุนามเลเจนเดรRเป็นสารละลายในแนวรัศมีจำเพาะ และนู๋เป็นค่าคงที่ที่คุณแก้ไขโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันคลื่นควรถูกทำให้เป็นมาตรฐาน สมการให้ระดับพลังงานที่กำหนดโดย:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
ที่ไหนZนี่คือเลขอะตอม (soZ= 1 สำหรับอะตอมไฮโดรเจน)อีในกรณีนี้คือประจุของอิเล็กตรอน (แทนที่จะเป็นค่าคงที่อี = 2.7182818...), ϵ0 เป็นการอนุญาติของพื้นที่ว่างและμคือมวลที่ลดลงซึ่งขึ้นอยู่กับมวลของโปรตอนและอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจน นิพจน์นี้ดีสำหรับอะตอมที่มีลักษณะคล้ายไฮโดรเจน ซึ่งหมายความว่าทุกสถานการณ์ (รวมถึงไอออน) ที่มีอิเล็กตรอนหนึ่งตัวโคจรรอบนิวเคลียสกลาง