การไขความลึกลับของแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟิสิกส์จนถึงปัจจุบัน และบทเรียนที่ได้รับก็ถูกห่อหุ้มไว้อย่างสมบูรณ์ในสมการของแมกซ์เวลล์
เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ตั้งชื่อสมการอันสง่างามทั้งสี่นี้ให้กับเขา แต่สมการเหล่านี้เป็นจุดสูงสุดของการทำงานหลายทศวรรษของนักฟิสิกส์หลายคน รวมทั้งไมเคิล ฟาราเดย์, อังเดร-มารี แอมแปร์ และคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ซึ่งตั้งชื่อตามสมการสามในสี่สมการ และอีกหลายคน คนอื่น ๆ ในขณะที่แมกซ์เวลล์เองได้เพิ่มคำศัพท์ลงในสมการหนึ่งในสี่สมการ เขามองการณ์ไกลและเข้าใจ รวบรวมผลงานที่ดีที่สุดที่เคยทำมาในหัวข้อและนำเสนอในรูปแบบที่ยังคงใช้โดย นักฟิสิกส์ในวันนี้
เป็นเวลาหลายปีที่นักฟิสิกส์เชื่อว่าไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็นแรงที่แยกจากกันและปรากฏการณ์ที่แตกต่างกัน แต่จากการทดลองของคนอย่างฟาราเดย์ มันก็ชัดเจนขึ้นเรื่อยๆ ว่าพวกเขาเป็นสองด้านของ ปรากฎการณ์เดียวกัน และสมการของแมกซ์เวลล์ได้แสดงภาพที่เป็นเอกภาพซึ่งยังคงใช้ได้จนถึงทุกวันนี้เหมือนในคริสต์ศตวรรษที่ 19 ศตวรรษ. หากคุณกำลังจะเรียนฟิสิกส์ในระดับที่สูงขึ้น คุณจำเป็นต้องรู้สมการของแมกซ์เวลล์และวิธีใช้สมการเหล่านี้
สมการของแมกซ์เวลล์
สมการของแมกซ์เวลล์มีดังต่อไปนี้ ทั้งในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล (โปรดทราบว่าแม้ความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์จะมีประโยชน์ในที่นี้ แต่ความเข้าใจเชิงแนวคิดก็เป็นไปได้แม้จะไม่มีก็ตาม)
กฎของเกาส์สำหรับไฟฟ้า
แบบฟอร์มส่วนต่าง:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
แบบฟอร์มอินทิกรัล:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
ไม่มีกฎโมโนโพล / กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก
แบบฟอร์มส่วนต่าง:
\bm{∇∙B} = 0
แบบฟอร์มอินทิกรัล:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์
แบบฟอร์มส่วนต่าง:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
แบบฟอร์มอินทิกรัล:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
กฎหมายแอมแปร์-แมกซ์เวลล์ / กฎของแอมแปร์
แบบฟอร์มส่วนต่าง:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
แบบฟอร์มอินทิกรัล:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
สัญลักษณ์ที่ใช้ในสมการของแมกซ์เวลล์
สมการของแมกซ์เวลล์ใช้สัญลักษณ์จำนวนมาก และสิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้หมายความว่าอย่างไร หากคุณจะเรียนรู้ที่จะนำไปใช้ นี่คือบทสรุปของความหมายของสัญลักษณ์ที่ใช้:
บี= สนามแม่เหล็ก
อี= สนามไฟฟ้า
ρ= ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้า
ε0= การอนุญาติของพื้นที่ว่าง = 8.854 × 10-12 ม-3 กิโลกรัม-1 ส4 อา2
q= ประจุไฟฟ้าทั้งหมด (ผลรวมของประจุบวกและประจุลบสุทธิ)
𝜙บี = ฟลักซ์แม่เหล็ก
เจ= ความหนาแน่นกระแส
ผม= กระแสไฟฟ้า
ค= ความเร็วแสง = 2.998 × 108 นางสาว
μ0 = การซึมผ่านของพื้นที่ว่าง = 4π × 10−7 ไม่ระบุ2
นอกจากนี้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่า ∇ เป็นตัวดำเนินการ del ซึ่งเป็นจุดระหว่างสองปริมาณ (X ∙ Y) แสดงผลคูณสเกลาร์ สัญลักษณ์การคูณตัวหนาระหว่างปริมาณสองปริมาณคือผลคูณเวกเตอร์ (X × Y) ซึ่งตัวดำเนินการ del ที่มีจุดเรียกว่า "divergence" (เช่น ∇ ∙ X= ความแตกต่างของX= divX) และตัวดำเนินการเดลที่มีผลคูณสเกลาร์เรียกว่า curl (เช่น ∇× Y= ขดของY= curlY). ในที่สุดอาใน dอาหมายถึงพื้นที่ผิวของพื้นผิวปิดที่คุณกำลังคำนวณ (บางครั้งเขียนเป็น dส), และสใน dสเป็นส่วนเล็ก ๆ ของขอบเขตของพื้นผิวเปิดที่คุณคำนวณ (แม้ว่าบางครั้งจะเป็น dlอ้างถึงองค์ประกอบเส้นเล็ก ๆ น้อย ๆ )
ที่มาของสมการ
สมการแรกของสมการของแมกซ์เวลล์คือกฎของเกาส์ และระบุว่าฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิผ่าน พื้นผิวปิดมีค่าเท่ากับประจุทั้งหมดที่อยู่ในรูปร่างหารด้วยค่าความอนุญาติของอิสระ พื้นที่ กฎข้อนี้สามารถได้มาจากกฎของคูลอมบ์ หลังจากที่ได้ดำเนินการขั้นตอนสำคัญในการแสดงกฎของคูลอมบ์ในแง่ของสนามไฟฟ้าและผลกระทบที่จะมีต่อประจุทดสอบ
สมการที่สองของแมกซ์เวลล์นั้นเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า “ไม่มีขั้วแม่เหล็ก” มันระบุ ว่าฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิผ่านพื้นผิวปิดจะเป็น 0 เสมอ เพราะสนามแม่เหล็กเป็นผลมาจาก a. เสมอ ไดโพล กฎหมายสามารถได้มาจากกฎ Biot-Savart ซึ่งอธิบายสนามแม่เหล็กที่เกิดจากองค์ประกอบปัจจุบัน
สมการที่สาม – กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ – อธิบายว่าสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงจะสร้างแรงดันไฟฟ้าในวงลวดหรือตัวนำได้อย่างไร เดิมมาจากการทดลอง อย่างไรก็ตาม จากผลที่การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กทำให้เกิดแรงเคลื่อนไฟฟ้า (EMF หรือแรงดันไฟ) และด้วยเหตุนี้กระแสไฟฟ้าใน วงลวดและความจริงที่ว่า EMF ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัลเส้นของสนามไฟฟ้ารอบ ๆ วงจรกฎหมายนั้นง่ายต่อการใส่ ด้วยกัน.
สมการที่สี่และสุดท้าย กฎของแอมแปร์ (หรือกฎของแอมแปร์-แมกซ์เวลล์เพื่อให้เครดิตเขา การสนับสนุน) อธิบายว่าสนามแม่เหล็กถูกสร้างขึ้นโดยประจุที่เคลื่อนที่หรือไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงอย่างไร สนาม กฎเป็นผลจากการทดลอง (และเช่นเดียวกับสมการของแมกซ์เวลล์ทั้งหมด ไม่ได้ "ได้มา" ในความหมายดั้งเดิม) แต่ใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์เป็นขั้นตอนสำคัญในการนำผลลัพธ์พื้นฐานมาสู่แบบฟอร์มที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน
ตัวอย่างสมการของแมกซ์เวลล์: กฎเกาส์
พูดตามตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่ตรงเป๊ะกับแคลคูลัสเวกเตอร์ของคุณ สมการของแมกซ์เวลล์ดูค่อนข้างน่ากลัว แม้ว่าจะมีขนาดค่อนข้างกะทัดรัดก็ตาม วิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจพวกมันคือดูตัวอย่างการใช้งานจริง และกฎของเกาส์คือจุดเริ่มต้นที่ดีที่สุด กฎของเกาส์เป็นสมการพื้นฐานที่ทำงานตามกฎของคูลอมบ์ หากฎของคูลอมบ์ได้ง่ายมากโดยพิจารณาจากสนามไฟฟ้าที่เกิดจากจุด ค่าใช้จ่าย
เรียกค่าธรรมเนียมqประเด็นสำคัญในการใช้กฎของเกาส์คือการเลือก "พื้นผิว" ที่ถูกต้องเพื่อตรวจสอบฟลักซ์ไฟฟ้าผ่าน ในกรณีนี้ ทรงกลมทำงานได้ดี ซึ่งมีพื้นที่ผิวอา = 4πr2เนื่องจากคุณสามารถจัดทรงกลมบนจุดชาร์จ นี่เป็นประโยชน์อย่างมากในการแก้ปัญหาเช่นนี้ เพราะคุณไม่จำเป็นต้องรวมสาขาที่แตกต่างกันออกไป สนามจะสมมาตรรอบจุดประจุ ดังนั้นสนามจะคงที่ตลอดพื้นผิวของทรงกลม ดังนั้นรูปแบบอินทิกรัล:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
สามารถแสดงเป็น:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
โปรดทราบว่าอีสำหรับสนามไฟฟ้าถูกแทนที่ด้วยขนาดอย่างง่าย เนื่องจากสนามจากประจุจุดจะแผ่กระจายอย่างเท่าเทียมกันในทุกทิศทางจากแหล่งกำเนิด ทีนี้ เมื่อหารด้วยพื้นที่ผิวของทรงกลม จะได้
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
เนื่องจากแรงสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าโดยอี = F/qที่ไหนqเป็นค่าทดสอบF = qEและอื่นๆ:
F = \frac{q_1q_2};{4πε_0r^2}
เมื่อมีการเพิ่มตัวห้อยเพื่อแยกความแตกต่างของค่าใช้จ่ายทั้งสอง นี่คือกฎของคูลอมบ์ที่ระบุไว้ในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นผลสืบเนื่องง่ายๆ จากกฎของเกาส์
ตัวอย่างสมการของแมกซ์เวลล์: กฎของฟาราเดย์
กฎของฟาราเดย์ให้คุณคำนวณแรงเคลื่อนไฟฟ้าในวงลวดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็ก ตัวอย่างง่ายๆ คือ วงลวดที่มีรัศมีr= 20 ซม. ในสนามแม่เหล็กที่เพิ่มขึ้นจากบีผม = 1 T ถึงบีฉ = 10 T ในช่องว่างของ ∆t= 5 วินาที – EMF ที่เหนี่ยวนำในกรณีนี้คืออะไร? รูปแบบสำคัญของกฎหมายเกี่ยวข้องกับฟลักซ์:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
ซึ่งถูกกำหนดเป็น:
ϕ = BA \cos (θ)
ส่วนสำคัญของปัญหาที่นี่คือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ แต่เนื่องจากปัญหาค่อนข้างตรงไปตรงมา คุณสามารถแทนที่อนุพันธ์ย่อยบางส่วนด้วย "การเปลี่ยนแปลง" ในแต่ละปริมาณอย่างง่าย และอินทิกรัลหมายถึงแรงเคลื่อนไฟฟ้าเท่านั้น ดังนั้นคุณสามารถเขียนกฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ใหม่เป็น:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
หากเราถือว่าเส้นลวดมีเส้นลวดอยู่ในแนวปกติกับสนามแม่เหล็กθ= 0° และดังนั้น cos (θ) = 1. ใบนี้:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหาความแตกต่างระหว่างสนามแม่เหล็กเริ่มต้นและขั้นสุดท้ายกับพื้นที่ของลูปดังนี้
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0.2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0.23 \text{ V } \end{จัดตำแหน่ง}
นี่เป็นเพียงแรงดันไฟฟ้าเพียงเล็กน้อย แต่กฎของฟาราเดย์ก็ถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกันโดยไม่คำนึงถึง
ตัวอย่างสมการของแมกซ์เวลล์: กฎแอมแปร์-แมกซ์เวลล์
กฎของแอมแปร์-แมกซ์เวลล์เป็นสมการสุดท้ายของแมกซ์เวลล์ที่คุณต้องใช้เป็นประจำ สมการจะเปลี่ยนกลับเป็นกฎของแอมแปร์ในกรณีที่สนามไฟฟ้าไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นนี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดในการพิจารณา คุณสามารถใช้มันเพื่อหาสมการของสนามแม่เหล็กที่เกิดจากเส้นลวดตรงที่มีกระแสผมและตัวอย่างพื้นฐานนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงวิธีการใช้สมการ กฎหมายฉบับเต็มคือ:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
แต่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงสนามไฟฟ้า มันจะลดลงเป็น:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 ฉัน
เช่นเดียวกับกฎของเกาส์ หากคุณเลือกวงกลมสำหรับพื้นผิวโดยมีศูนย์กลางที่ห่วงของเส้นลวด สัญชาตญาณบอกว่าผลลัพธ์ของสนามแม่เหล็ก จะสมมาตร ดังนั้นคุณสามารถแทนที่อินทิกรัลด้วยผลคูณง่ายๆ ของเส้นรอบวงของลูปและความแรงของสนามแม่เหล็ก ออก:
B × 2πr = μ_0 ฉัน
หารด้วย2πrให้:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
ซึ่งเป็นนิพจน์ที่ยอมรับได้สำหรับสนามแม่เหล็กในระยะไกลrเกิดจากเส้นลวดตรงที่นำกระแส
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า
เมื่อแมกซ์เวลล์รวบรวมชุดสมการของเขา เขาก็เริ่มหาคำตอบเพื่อช่วยอธิบายต่างๆ ปรากฎการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง และการหยั่งรู้ในแสงเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งที่เขา ได้รับ
เนื่องจากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงจะสร้างสนามแม่เหล็ก (ตามกฎของแอมแปร์) และสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงจะสร้าง สนามไฟฟ้า (ตามกฎของฟาราเดย์) แมกซ์เวลล์พบว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายตัวเองอาจเป็น เป็นไปได้ เขาใช้สมการเพื่อหาสมการคลื่นที่จะอธิบายคลื่นดังกล่าวและกำหนดว่าจะเดินทางด้วยความเร็วแสง นี่เป็นช่วงเวลา "ยูเรก้า" แปลก ๆ เขาตระหนักว่าแสงเป็นรูปแบบของการแผ่รังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งทำงานเหมือนกับสนามที่เขาจินตนาการไว้!
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าประกอบด้วยคลื่นสนามไฟฟ้าและคลื่นสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมาโดยเรียงตัวกันเป็นมุมฉาก การสั่นของส่วนไฟฟ้าของคลื่นทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก และการสั่นของส่วนนี้จะทำให้เกิดสนามไฟฟ้าอีกครั้งและต่อเนื่องในขณะที่เดินทางผ่านอวกาศ
เช่นเดียวกับคลื่นอื่น ๆ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีความถี่และความยาวคลื่น และผลิตภัณฑ์ของสิ่งเหล่านี้จะเท่ากับ .เสมอค, ความเร็วแสง คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าอยู่รอบตัวเรา เช่นเดียวกับแสงที่มองเห็น ความยาวคลื่นอื่นๆ มักเรียกว่าคลื่นวิทยุ ไมโครเวฟ อินฟราเรด อุลตร้าไวโอเลต รังสีเอกซ์ และรังสีแกมมา รูปแบบรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมดนี้มีรูปแบบพื้นฐานเหมือนกันตามที่อธิบายโดยสมการของแมกซ์เวลล์ แต่พลังงานของพวกมันแปรผันตามความถี่ (กล่าวคือ ความถี่สูงหมายถึงพลังงานที่สูงขึ้น)
ดังนั้น สำหรับนักฟิสิกส์ แม็กซ์เวลล์คือผู้ที่กล่าวว่า "ขอให้มีแสงสว่าง!"
