ตรีโกณมิติสามารถรู้สึกเหมือนเป็นเรื่องนามธรรม คำศัพท์ลึกลับ เช่น "บาป" และ "คอส" ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับสิ่งใดในความเป็นจริง และเป็นการยากที่จะเข้าใจมันเป็นแนวคิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยได้มากในเรื่องนี้ โดยให้คำอธิบายที่ตรงไปตรงมาเกี่ยวกับจำนวนที่คุณได้รับเมื่อคุณหาไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุม สำหรับนักเรียนสายวิทยาศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ การเข้าใจวงกลมหน่วยสามารถเสริมความเข้าใจเกี่ยวกับตรีโกณมิติและวิธีใช้ฟังก์ชันต่างๆ ได้อย่างแท้จริง
ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)
วงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมีหนึ่ง ลองนึกภาพxyระบบพิกัดเริ่มต้นที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ มุมจุดจะวัดจากที่x= 1 และy= 0 ทางด้านขวามือของวงกลม มุมจะเพิ่มขึ้นเมื่อคุณเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา
โดยใช้กรอบนี้และyสำหรับy-ประสานงานและxสำหรับx-พิกัดของจุดบนวงกลม:
บาปθ = y
cosθ = x
และด้วยเหตุนี้:
tanθ = y / x
วงกลมหน่วยคืออะไร?
วงกลม “หน่วย” มีรัศมีเท่ากับ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงส่วนใดส่วนหนึ่งของขอบจะเป็น 1 เสมอ หน่วยวัดไม่สำคัญหรอก เพราะสิ่งที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับหน่วยวงกลมก็คือมันทำให้สมการและการคำนวณหลายๆ อย่างง่ายขึ้นมาก
นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นพื้นฐานที่เป็นประโยชน์สำหรับการดูคำจำกัดความของมุม ลองนึกภาพว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ศูนย์กลางของระบบพิกัดด้วย anx- แกนวิ่งในแนวนอนและ ay-แกนวิ่งในแนวตั้ง วงกลมตัดผ่านx-แกนที่x = 1, y= 0. นักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์กำหนดมุมจากจุดนั้นที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นประเด็นx =1, y= 0 บนวงกลมอยู่ที่มุม 0 องศา
คำจำกัดความของบาปและคอสด้วยวงกลมหน่วย
คำจำกัดความทั่วไปของ sin, cos และ tan ที่ให้กับนักเรียนเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม พวกเขากล่าวว่า:
\sin θ = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
"ตรงข้าม" หมายถึงความยาวของด้านของสามเหลี่ยมตรงข้ามมุม "ติดกัน" หมายถึง ความยาวของด้านถัดจากมุมและ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" หมายถึงความยาวของด้านทแยงมุมของ of สามเหลี่ยม.
ลองนึกภาพการสร้างสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วยเสมอ โดยมีมุมหนึ่งอยู่ที่ขอบของวงกลมและอีกมุมหนึ่งอยู่ตรงกลาง ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก = 1 ในสมการข้างต้น ดังนั้นสองตัวแรกจึงกลายเป็น:
\sin θ = \frac{\text{opposite}}{1} = \text{opposite}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{adjacent}}{1} = \text{adjacent} \\
หากคุณสร้างมุมที่เป็นปัญหาให้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ด้านตรงข้ามก็คือy-พิกัดและที่อยู่ติดกันก็แค่ isx- พิกัดของจุดบนวงกลมที่สัมผัสกับสามเหลี่ยม กล่าวอีกนัยหนึ่ง บาปส่งกลับy- ประสานงานบนวงกลมหน่วย (โดยใช้พิกัดที่เริ่มต้นที่จุดศูนย์กลาง) สำหรับมุมที่กำหนดและ cos จะส่งกลับx-ประสานงาน. นี่คือสาเหตุที่ cos (0) = 1 และ sin (0) = 0 เพราะ ณ จุดนี้ สิ่งเหล่านี้คือพิกัด ในทำนองเดียวกัน cos (90) = 0 และ sin (90) = 1 เพราะนี่คือจุดที่มีx= 0 และy= 1. ในรูปแบบสมการ:
\sin θ = y \\ \cos θ = x
มุมเชิงลบยังง่ายต่อการเข้าใจบนพื้นฐานของสิ่งนี้ มุมลบ (วัดตามเข็มนาฬิกาจากจุดเริ่มต้น) มีค่าเท่ากันxประสานเป็นมุมบวกที่สอดคล้องกัน ดังนั้น:
\cos -θ = \cos θ
อย่างไรก็ตามy- สวิตช์พิกัด ซึ่งหมายความว่า
\sin -θ = -\sin θ
นิยามของ Tan ด้วยวงกลมหน่วย
คำจำกัดความของ tan ที่ให้ไว้ข้างต้นคือ:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
แต่ด้วยนิยามวงกลมหน่วยของ sin และ cos คุณจะเห็นว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับ:
\tan θ = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}
หรือคิดในแง่ของพิกัด:
\tan θ = \frac{y}{x}
สิ่งนี้อธิบายได้ว่าทำไมไม่มีการกำหนดสีแทนสำหรับ 90° หรือ −270° และ 270° หรือ −90° (โดยที่x= 0) เพราะคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การทำกราฟ sin หรือ cos จะง่ายขึ้นเมื่อคุณนึกถึงวงกลมหนึ่งหน่วยx-พิกัดจะแปรผันอย่างราบรื่นเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปรอบๆ วงกลม โดยเริ่มต้นที่ 1 และลดลงเหลือ -1 ต่ำสุดที่ 180° แล้วจึงเพิ่มขึ้นในลักษณะเดียวกัน ฟังก์ชัน sin ทำสิ่งเดียวกัน แต่จะเพิ่มขึ้นเป็นค่าสูงสุด 1 ที่ 90° ก่อน ก่อนทำตามรูปแบบเดียวกัน ฟังก์ชันทั้งสองนี้เรียกว่า "เฟส" ห่างกัน 90°
กราฟสีแทนต้องมีการหารyโดยxและซับซ้อนกว่าในการสร้างกราฟ และยังมีจุดที่ไม่ได้กำหนดไว้ด้วย