ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมคืออะไร?

สามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีรูปร่างเหมือนกันแต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน เมื่อรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน จะมีคุณสมบัติและคุณลักษณะหลายอย่างเหมือนกัน ทฤษฎีความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมระบุเงื่อนไขภายใต้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความคล้ายคลึงกันและจัดการกับด้านและมุมของแต่ละรูปสามเหลี่ยม เมื่อการรวมกันของมุมและด้านที่เจาะจงเป็นไปตามทฤษฎีบท คุณสามารถพิจารณาว่าสามเหลี่ยมนั้นมีความคล้ายคลึงกัน

ทีแอล; DR (ยาวเกินไป; ไม่ได้อ่าน)

มีสามทฤษฎีบทความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่ระบุภายใต้เงื่อนไขที่สามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึง

• ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่สามจะเท่ากันและสามเหลี่ยมก็เหมือนกัน
  
• ถ้าด้านทั้งสามอยู่ในสัดส่วนเท่ากัน สามเหลี่ยมจะคล้ายกัน
• ถ้าด้านสองด้านอยู่ในสัดส่วนที่เท่ากันและมุมที่รวมไว้เท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายคลึงกัน

ถ้ามุมสองมุมของสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน จะเห็นได้ชัดเจนว่ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยมต้องรวมกันได้ 180 องศา ถ้ารู้มุมสองมุม มุมที่สามหาได้โดยการลบมุมที่รู้จักทั้งสองมุมออกจาก 180 ถ้ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะมีรูปร่างเหมือนกันและคล้ายกัน

ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมสองด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นไม่เพียงแต่คล้ายกันเท่านั้น แต่ยังมีความสอดคล้องกันหรือเหมือนกันอีกด้วย สำหรับสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมสองรูปจะต้องเป็นสัดส่วนกันเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากสามเหลี่ยมหนึ่งมีด้าน 3, 5 และ 6 นิ้ว และสามเหลี่ยมที่สองมีด้าน 9, 15 และ 18 นิ้ว ด้านแต่ละด้านของสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่านั้นมีความยาวเป็นสามเท่าของด้านใดด้านหนึ่งของด้านที่เล็กกว่า สามเหลี่ยม. ด้านข้างเป็นสัดส่วนซึ่งกันและกัน และสามเหลี่ยมก็คล้ายกัน

สามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายคลึงกันหากด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนและมุมรวมหรือมุมระหว่างด้านเท่ากัน ตัวอย่างเช่น หากด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 2 และ 3 นิ้ว และด้านของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งคือ 4 และ 6 นิ้ว ด้านเป็นสัดส่วน แต่รูปสามเหลี่ยมอาจไม่เท่ากัน เพราะสองในสามอาจเป็นอะไรก็ได้ ความยาว. ถ้ามุมรวมเท่ากัน ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมจะเป็นสัดส่วนและสามเหลี่ยมจะคล้ายกัน

หากทฤษฎีบทความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมสามรูปหนึ่งในสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปบรรลุผลสำเร็จ สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน แต่มีชุดค่าผสมมุมข้างที่เป็นไปได้อื่นๆ ที่อาจรับประกันความคล้ายคลึงกันหรือไม่ก็ได้

สำหรับการกำหนดค่าที่เรียกว่ามุม-มุม-ด้าน (AAS), มุม-ด้าน-มุม (ASA) หรือมุม-มุม-มุม (SAA) ไม่สำคัญว่าด้านจะใหญ่แค่ไหน สามเหลี่ยมจะคล้ายกันเสมอ การกำหนดค่าเหล่านี้ลดลงเป็นทฤษฎีบท AA มุม-มุม ซึ่งหมายความว่าทั้งสามมุมเหมือนกันและสามเหลี่ยมคล้ายกัน

อย่างไรก็ตาม การกำหนดค่ามุมด้านข้างหรือด้านมุมไม่ได้รับประกันความคล้ายคลึงกัน (อย่าสับสนระหว่างมุมข้างกับมุมข้าง "ด้าน" และ "มุม" ในแต่ละชื่อหมายถึงลำดับที่คุณพบด้านและมุม) ในบางกรณี เช่น สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้านสองด้านเป็นสัดส่วนกัน และมุมที่ไม่ได้รวมไว้เท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็น คล้ายคลึงกัน ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด รูปสามเหลี่ยมอาจจะคล้ายกันหรือไม่ก็ได้

สามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะพอดีกัน สามารถมีด้านขนานกันและมาตราส่วนจากอันหนึ่งไปอีกอันหนึ่งได้ การพิจารณาว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายคลึงกันหรือไม่โดยใช้ทฤษฎีบทความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมมีความสำคัญเมื่อใช้คุณลักษณะดังกล่าวเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต