รากหรือรากเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามทางคณิตศาสตร์ของเลขชี้กำลัง ในแง่เดียวกับการบวกจะตรงกันข้ามกับการลบ รากที่สองที่เล็กที่สุดคือรากที่สองซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ √ รากที่สองคือรากที่สาม แทนด้วยสัญลักษณ์ ³√ เลขตัวเล็กที่อยู่หน้าเครื่องหมายกรณฑ์คือเลขดัชนี หมายเลขดัชนีสามารถเป็นจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ และยังแสดงเลขชี้กำลังที่สามารถใช้เพื่อตัดรากนั้นออก ตัวอย่างเช่น การเพิ่มกำลังเป็น 3 จะยกเลิกรากที่สาม
กฎทั่วไปสำหรับแต่ละหัวรุนแรง
ผลลัพธ์ของการดำเนินการแบบกรณฑ์จะเป็นค่าบวก ถ้าจำนวนที่อยู่ใต้รากเป็นบวก ผลลัพธ์จะเป็นค่าลบหากตัวเลขใต้รากเป็นค่าลบและเลขดัชนีเป็นเลขคี่ จำนวนลบภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ที่มีเลขดัชนีคู่ทำให้เกิดจำนวนอตรรกยะ จำไว้ว่าแม้ว่าจะไม่แสดง แต่เลขดัชนีของรากที่สองคือ 2
กฎผลิตภัณฑ์และผลหาร
ในการคูณหรือหารสองราก รากนั้นต้องมีเลขดัชนีเหมือนกัน กฎผลคูณกำหนดว่าการคูณของรากที่สองเพียงแค่คูณค่าภายในและวางคำตอบไว้ในรากศัพท์ชนิดเดียวกัน ซึ่งจะทำให้ง่ายขึ้นถ้าเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น,
\sqrt[3]{2}× \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8}
ซึ่งสามารถย่อเป็น 2 กฎนี้ยังสามารถทำงานย้อนกลับได้ โดยแยกจำนวนรากที่ใหญ่กว่าออกเป็นทวีคูณรากที่สองที่มีขนาดเล็กกว่า
กฎผลหารระบุว่ารากหนึ่งหารด้วยอีกรากหนึ่งเหมือนกับการหารตัวเลขและวางไว้ใต้สัญลักษณ์รากเดียวกัน ตัวอย่างเช่น,
\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}
เช่นเดียวกับกฎผลคูณ คุณยังสามารถย้อนกลับกฎผลหารเพื่อแยกเศษส่วนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ออกเป็นรากที่สองได้
เคล็ดลับ
นี่คือเคล็ดลับสำคัญสำหรับการทำให้รากที่สองง่ายขึ้นและรากคู่อื่นๆ เมื่อเลขดัชนีเป็นเลขคู่ ตัวเลขในรากที่สองจะต้องไม่ติดลบ ไม่ว่าในกรณีใด ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับ 0 ไม่ได้
ลดความซับซ้อนของสแควร์รูทและอนุมูลอื่นๆ
รากศัพท์บางตัวแก้ได้ง่ายเนื่องจากจำนวนภายในแก้เป็นจำนวนเต็ม เช่น √16 = 4 แต่ส่วนใหญ่จะไม่ลดความซับซ้อนอย่างหมดจด กฎผลิตภัณฑ์สามารถใช้ย้อนกลับเพื่อลดความซับซ้อนของอนุมูลที่ยากขึ้น ตัวอย่างเช่น √27 ก็เท่ากับ √9 × √3 ด้วย เนื่องจาก √9 = 3 ปัญหานี้สามารถลดความซับซ้อนลงได้เป็น 3√3 สามารถทำได้แม้ในขณะที่ตัวแปรอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ แม้ว่าตัวแปรจะต้องอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ก็ตาม
เศษส่วนตรรกยะสามารถแก้ไขได้ในทำนองเดียวกันโดยใช้กฎผลหาร ตัวอย่างเช่น,
\sqrt{\frac{5}{49}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49}}
เนื่องจาก √49 = 7 เศษส่วนจึงสามารถลดรูปลงได้เป็น √5 ÷ 7
เลขชี้กำลัง อนุมูล และการลดความซับซ้อนของรากที่สอง
สามารถขจัดอนุมูลอิสระออกจากสมการได้โดยใช้เลขชี้กำลังของเลขดัชนี ตัวอย่างเช่น ในสมการ √x= 4, เครื่องหมายกรณฑ์ถูกยกเลิกโดยการเพิ่มทั้งสองข้างยกกำลังสอง:
(\sqrt{x})^2 = (4)^2\text{ หรือ } x = 16
เลขชี้กำลังผกผันของเลขดัชนีจะเท่ากับตัวรากเอง ตัวอย่างเช่น √9 เหมือนกับ 91/2. การเขียนรากศัพท์ในลักษณะนี้อาจมีประโยชน์เมื่อทำงานกับสมการที่มีเลขชี้กำลังจำนวนมาก