จะบอกได้อย่างไรว่าตัวเลขมีเหตุผล

จำนวนตรรกยะคือจำนวนใดๆ ที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนหรือเศษส่วนได้ตามชื่อ เลข 6 เป็นจำนวนตรรกยะเพราะสามารถเขียนเป็น 6/1 ได้ แม้ว่าจะไม่ใช่เรื่องปกติก็ตาม 4.5 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะสามารถแทนด้วย 9/2 ได้

อย่างไรก็ตาม ตัวเลขที่สำคัญหลายอย่างในวิชาคณิตศาสตร์นั้นไม่มีเหตุผล และไม่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนได้ ซึ่งรวมถึง pi หรือ π ซึ่งเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางและเท่ากับ 3.141592654...; และรากที่สองของ 5 เท่ากับ 2.236067977... จุดต่อท้ายแสดงถึงชุดตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันที่ด้านขวาของจุดทศนิยม

มีหลายวิธีในการพิจารณาว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่

จำนวนใดๆ ที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนหรืออัตราส่วนได้จะเป็นจำนวนตรรกยะ ผลคูณของจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จึงเป็นจำนวนตรรกยะ เพราะมันอาจแสดงเป็นเศษส่วนได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น 5/7 และ 13/120 เป็นจำนวนตรรกยะ และผลคูณ 65/840 ก็เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน (65/140 ลดลงเหลือ 13/28 แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญสำหรับจุดประสงค์ปัจจุบัน)

นี่เป็นเรื่องเล็กน้อยกว่าที่คิด เพราะมันง่ายที่จะลืมว่าจำนวนเต็ม (... −3, −2, −1, 0, 1, 2 และอื่นๆ) สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 เช่น −3/1, −2/1 เป็นต้น

ที่สำคัญ ตัวเลขบางตัวที่มีลำดับอนันต์ของตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายทศนิยมนั้นมีเหตุผล กุญแจสำคัญคือต้องมีลำดับการทำซ้ำ ตัวอย่างเช่น

ส่วนที่ทำซ้ำมักจะถูกระบุด้วยแถบเหนือส่วนที่ทำซ้ำ:

ตัวเลขส่วนใหญ่ที่แสดงเป็นรากที่สองเป็นจำนวนอตรรกยะ ข้อยกเว้นเรียกว่ากำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งเป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม (0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 เป็นต้น)