ลองนึกภาพว่าคุณกำลังบรรจุปืนใหญ่โดยมีเป้าหมายที่จะทุบกำแพงปราสาทของศัตรูเพื่อให้กองทัพของคุณสามารถบุกเข้ามาและเรียกร้องชัยชนะได้ ถ้าคุณรู้ว่าลูกบอลเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนเมื่อออกจากปืนใหญ่ และคุณรู้ว่ากำแพงอยู่ไกลแค่ไหน คุณต้องยิงมุมไหนจึงจะยิงปืนใหญ่ให้ชนกำแพงได้สำเร็จ
นี่คือตัวอย่างของปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ และคุณสามารถแก้ปัญหานี้และปัญหาอื่นๆ ที่คล้ายกันได้โดยใช้สมการความเร่งคงที่ของจลนศาสตร์และพีชคณิตพื้นฐาน
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นวิธีที่นักฟิสิกส์อธิบายการเคลื่อนที่สองมิติโดยที่ความเร่งเพียงอย่างเดียวที่วัตถุในคำถามประสบคือการเร่งความเร็วลงอย่างต่อเนื่องเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
บนพื้นผิวโลก ความเร่งคงที่เท่ากับก= 9.8 ม./วินาที2และวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์อยู่ในตกฟรีด้วยสิ่งนี้เป็นแหล่งเดียวของการเร่งความเร็ว ในกรณีส่วนใหญ่ จะใช้เส้นทางของพาราโบลา ดังนั้นการเคลื่อนไหวจะมีองค์ประกอบทั้งแนวนอนและแนวตั้ง แม้ว่ามันจะมีผล (จำกัด) ในชีวิตจริง แต่โชคดีที่ปัญหาการเคลื่อนที่ของกระสุนปืนทางฟิสิกส์ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายส่วนใหญ่ไม่สนใจผลกระทบของการต้านอากาศ
คุณสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ได้โดยใช้ค่าของ
กและข้อมูลพื้นฐานอื่นๆ เกี่ยวกับสถานการณ์ในมือ เช่น ความเร็วเริ่มต้นของกระสุนปืนและทิศทางที่มันเคลื่อนที่ การเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสอบผ่านวิชาฟิสิกส์เบื้องต้นส่วนใหญ่ และจะแนะนำให้คุณรู้จักกับแนวคิดและเทคนิคที่สำคัญที่สุดที่คุณจะต้องใช้ในหลักสูตรต่อไปด้วยสมการการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์
สมการการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์คือสมการความเร่งคงที่จากจลนศาสตร์ เนื่องจากความเร่งของแรงโน้มถ่วงเป็นเพียงแหล่งเดียวของการเร่งความเร็วที่คุณต้องพิจารณา สมการหลักสี่ข้อที่คุณต้องใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์คือ:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2as
ที่นี่วีย่อมาจากความเร็ว,วี0 คือความเร็วเริ่มต้นคือความเร่ง (ซึ่งเท่ากับความเร่งลงของกในทุกปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์)สคือการกระจัด (จากตำแหน่งเริ่มต้น) และเช่นเคยคุณมีเวลาt.
ในทางเทคนิคแล้ว สมการเหล่านี้มีไว้สำหรับมิติเดียวเท่านั้น และจริงๆ แล้วสมการเหล่านี้สามารถแทนด้วยปริมาณเวกเตอร์ (รวมถึงความเร็วด้วย)วี, ความเร็วต้นวี0 และอื่นๆ) แต่ในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้เวอร์ชันเหล่านี้แยกกัน ครั้งเดียวในx-ทิศทางและครั้งเดียวในy-direction (และถ้าคุณเคยมีปัญหาสามมิติในz-ทิศทางด้วย)
สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าสิ่งเหล่านี้คือใช้สำหรับการเร่งความเร็วคงที่เท่านั้นซึ่งทำให้สมบูรณ์แบบสำหรับการอธิบายสถานการณ์ที่อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงเป็นเพียงเท่านั้น การเร่งความเร็ว แต่ไม่เหมาะกับสถานการณ์จริงหลายๆ สถานการณ์ที่จำเป็นต้องมีกำลังเพิ่มเติม forces พิจารณา.
สำหรับสถานการณ์พื้นฐาน คุณจะต้องใช้สิ่งนี้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุ แต่ถ้าจำเป็น คุณสามารถรวม other. เข้าด้วยกันได้ ปัจจัยต่างๆ เช่น ความสูงที่กระสุนถูกยิง หรือแม้แต่การแก้จุดสุดยอดของโพรเจกไทล์บนตัวมัน เส้นทาง.
การแก้ปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
ตอนนี้คุณได้เห็นสูตรการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์ทั้งสี่เวอร์ชันแล้วที่คุณต้องใช้เพื่อ แก้ปัญหา คุณสามารถเริ่มคิดเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่คุณใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ปัญหา.
แนวทางพื้นฐานคือการแบ่งปัญหาออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกสำหรับการเคลื่อนที่ในแนวนอนและอีกส่วนสำหรับการเคลื่อนที่ในแนวตั้ง ในทางเทคนิคเรียกว่าองค์ประกอบแนวนอนและองค์ประกอบแนวตั้ง และแต่ละองค์ประกอบมีชุดที่สอดคล้องกันของ ปริมาณ เช่น ความเร็วแนวนอน ความเร็วแนวตั้ง การกระจัดในแนวนอน การกระจัดในแนวตั้ง และ เป็นต้น
ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถใช้สมการจลนศาสตร์ โดยสังเกตเวลานั้นtเหมือนกันสำหรับองค์ประกอบทั้งแนวนอนและแนวตั้ง แต่สิ่งต่าง ๆ เช่นความเร็วเริ่มต้นจะมีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสำหรับความเร็วแนวตั้งเริ่มต้นและความเร็วแนวนอนเริ่มต้น
สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือสำหรับการเคลื่อนไหวสองมิติใดๆมุมของการเคลื่อนที่สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบแนวนอนและองค์ประกอบแนวตั้งได้ แต่เมื่อ คุณทำสิ่งนี้จะมีสมการในแนวนอนหนึ่งเวอร์ชันและแนวตั้งหนึ่งอัน รุ่น
การละเลยผลกระทบของแรงต้านของอากาศจะทำให้ปัญหาการเคลื่อนที่ของกระสุนปืนง่ายขึ้นเพราะทิศทางแนวนอนไม่เคยมีเลย ความเร่งในปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (การตกอย่างอิสระ) เนื่องจากอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงจะกระทำในแนวตั้งเท่านั้น (กล่าวคือ ไปยังพื้นผิวของ โลก).
ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบความเร็วแนวนอนเป็นเพียงความเร็วคงที่ และการเคลื่อนไหวจะหยุดก็ต่อเมื่อแรงโน้มถ่วงทำให้กระสุนปืนตกลงสู่ระดับพื้นดิน สามารถใช้เพื่อกำหนดเวลาของเที่ยวบินได้ เนื่องจากขึ้นอยู่กับy-ทิศทางการเคลื่อนที่และสามารถทำงานได้ทั้งหมดตามการกระจัดในแนวตั้ง (เช่น เวลาtเมื่อการกระจัดในแนวตั้งเป็นศูนย์จะบอกเวลาของเที่ยวบินให้คุณทราบ)
ตรีโกณมิติในปัญหาการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
หากปัญหาที่เป็นปัญหาทำให้คุณมีมุมปล่อยและความเร็วเริ่มต้น คุณจะต้องใช้ตรีโกณมิติเพื่อค้นหาองค์ประกอบความเร็วแนวนอนและแนวตั้ง เมื่อคุณทำเสร็จแล้ว คุณสามารถใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้าเพื่อแก้ไขปัญหาได้จริง
โดยพื้นฐานแล้ว คุณสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากโดยให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเอียงที่มุมปล่อย (θ) และขนาดของความเร็วเป็นความยาว แล้วด้านประชิดเป็นองค์ประกอบแนวนอนของความเร็ว และด้านตรงข้ามคือความเร็วแนวตั้ง
วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทิศทาง แล้วคุณจะเห็นว่าคุณพบองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งโดยใช้ข้อมูลระบุตรีโกณมิติ:
\ข้อความ{cos}\; θ = \frac{\text{adjacent}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}
\ข้อความ{บาป}\; θ = \frac{\text{opposite}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}
จึงสามารถจัดเรียงใหม่ได้ (และตรงข้าม =วีy และข้างเคียง =วีxกล่าวคือ องค์ประกอบความเร็วแนวตั้งและองค์ประกอบความเร็วแนวนอนตามลำดับ และด้านตรงข้ามมุมฉาก =วี0, ความเร็วเริ่มต้น) เพื่อให้:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 บาป (θ)
นี่คือตรีโกณมิติทั้งหมดที่คุณต้องทำเพื่อแก้ไขปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์: เสียบมุมปล่อยเข้ากับ สมการ โดยใช้ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์บนเครื่องคิดเลขของคุณและคูณผลลัพธ์ด้วยความเร็วเริ่มต้นของ กระสุนปืน
เพื่อดูตัวอย่างของการทำเช่นนี้ ด้วยความเร็วเริ่มต้น 20 m/s และมุมเปิดตัว 60 องศา ส่วนประกอบมีดังนี้:
\begin{aligned} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17.32 \;\text{m/s} \end{aligned}
ตัวอย่างปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์: พลุระเบิด
ลองนึกภาพดอกไม้ไฟที่ออกแบบฟิวส์ให้ระเบิดที่จุดสูงสุดของวิถี และปล่อยด้วยความเร็วเริ่มต้น 60 m/s ที่มุม 70 องศากับแนวนอน
คุณจะคำนวณความสูงได้อย่างไรห่ามันระเบิดที่? และเวลาจากการเปิดตัวจะเป็นอย่างไรเมื่อมันระเบิด?
นี่เป็นหนึ่งในปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับความสูงสูงสุดของโพรเจกไทล์ และเคล็ดลับในการแก้ปัญหาเหล่านี้ก็คือการสังเกตว่าที่ความสูงสูงสุดy- องค์ประกอบของความเร็วคือ 0 m/s ชั่วขณะหนึ่ง โดยเสียบค่านี้สำหรับวีy และเลือกสมการจลนศาสตร์ที่เหมาะสมที่สุด คุณจะสามารถแก้ไขปัญหานี้และปัญหาที่คล้ายกันได้อย่างง่ายดาย
ขั้นแรก เมื่อดูสมการจลนศาสตร์ สมการนี้จะกระโดดออกมา (โดยเพิ่มตัวห้อยเพื่อแสดงว่าเรากำลังทำงานในแนวตั้ง):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
สมการนี้เหมาะเพราะคุณรู้อยู่แล้วว่าความเร่ง (y = -ก) ความเร็วต้นและมุมปล่อย (เพื่อให้คุณหาองค์ประกอบแนวตั้งได้)วีy0). เนื่องจากเรากำลังมองหาค่าของสy (กล่าวคือ ส่วนสูงห่า) เมื่อไหร่วีy = 0 เราสามารถแทนที่ศูนย์สำหรับองค์ประกอบความเร็วแนวตั้งสุดท้ายและจัดเรียงใหม่สำหรับสy:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
เนื่องจากเป็นการสมควรที่จะเรียกทิศทางขึ้นyและเนื่องจากความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกถูกชี้ลง (เช่นใน -yทิศทาง) เราเปลี่ยนได้y สำหรับ -ก. สุดท้ายโทรสy ความสูงห่าเราสามารถเขียน:
ชั่วโมง = \frac{v_{0y}^2}{2g}
ดังนั้นสิ่งเดียวที่คุณต้องแก้ปัญหาคือองค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วเริ่มต้น ซึ่งคุณสามารถทำได้โดยใช้วิธีตรีโกณมิติจากส่วนก่อนหน้า ด้วยข้อมูลจากคำถาม (60 ม./วินาที และ 70 องศาจนถึงการปล่อยตัวในแนวนอน) สิ่งนี้ทำให้:
\begin{aligned} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56.38 \;\text{m/s} \end{aligned}
ตอนนี้คุณสามารถแก้ปัญหาสำหรับความสูงสูงสุด:
\begin{aligned} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9.8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162.19 \text{m} \end{aligned}
ดังนั้นดอกไม้ไฟจะระเบิดที่ความสูงประมาณ 162 เมตรจากพื้นดิน
ต่อจากตัวอย่าง: เวลาของเที่ยวบินและระยะทางที่เดินทาง
หลังจากแก้ปัญหาพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์โดยอิงจากการเคลื่อนที่ในแนวตั้งแล้ว ปัญหาที่เหลือสามารถแก้ไขได้ง่าย อย่างแรกเลย เวลาตั้งแต่จุดสตาร์ทที่ฟิวส์ระเบิดสามารถหาได้โดยใช้สมการความเร่งคงที่อีกสมการหนึ่ง ดูที่ตัวเลือกนิพจน์ต่อไปนี้:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
มีเวลาtซึ่งเป็นสิ่งที่คุณอยากรู้ การกระจัดซึ่งคุณรู้สำหรับจุดสูงสุดของเที่ยวบิน ความเร็วแนวตั้งเริ่มต้น และความเร็ว ณ เวลาที่ความสูงสูงสุด (ซึ่งเรารู้ว่าเป็นศูนย์) จากสิ่งนี้ สมการสามารถถูกจัดเรียงใหม่เพื่อแสดงนิพจน์สำหรับเวลาบิน:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
ดังนั้นการแทรกค่าและการแก้ปัญหาสำหรับtให้:
\begin{aligned} t &= \frac{2 × 162.19 \;\text{m}} {56.38 \; \text{m/s}} \\ &= 5.75 \;\text{s} \end{aligned}
ดังนั้นดอกไม้ไฟจะระเบิดหลังจากปล่อย 5.75 วินาที
สุดท้าย คุณสามารถกำหนดระยะทางแนวนอนที่เดินทางโดยง่ายตามสมการแรก ซึ่ง (ในแนวนอน) ระบุว่า:
v_x = v_{0x} + a_xt
อย่างไรก็ตาม โดยสังเกตว่าไม่มีการเร่งความเร็วในx-direction นี่เป็นเพียง:
v_x = v_{0x}
หมายความว่าความเร็วในxทิศทางเดียวกันตลอดการเดินทางของพลุ ระบุว่าวี = d/tที่ไหนdคือระยะทางที่เดินทาง ง่ายที่จะเห็นว่าd = vtและในกรณีนี้ (ด้วย caseสx = d):
s_x = v_{0x}t
จึงเปลี่ยนได้วี0x ด้วยนิพจน์ตรีโกณมิติจากก่อนหน้านี้ ให้ป้อนค่าและแก้สมการ:
\begin{aligned} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5.75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{จัดตำแหน่ง}
ดังนั้นมันจะเดินทางประมาณ 118 ม. ก่อนเกิดการระเบิด
ปัญหาการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์เพิ่มเติม: The Dud Firework
สำหรับปัญหาที่ต้องแก้ไขเพิ่มเติม ลองนึกภาพดอกไม้ไฟจากตัวอย่างก่อนหน้า (ความเร็วเริ่มต้น 60 ม./วินาทีที่ปล่อย ที่ 70 องศาในแนวราบ) ไม่สามารถระเบิดที่จุดสูงสุดของพาราโบลาและตกลงบนพื้นแทน ยังไม่ระเบิด คุณสามารถคำนวณเวลาเที่ยวบินทั้งหมดในกรณีนี้ได้หรือไม่? ห่างจากจุดปล่อยในแนวราบเท่าใด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ is คืออะไรพิสัยของกระสุนปืน?
ปัญหานี้ทำงานในลักษณะเดียวกับที่องค์ประกอบแนวตั้งของความเร็วและการกระจัด สิ่งสำคัญที่คุณต้องพิจารณาเพื่อกำหนดเวลาของเที่ยวบินและจากนั้นคุณสามารถกำหนด พิสัย. แทนที่จะทำงานอย่างละเอียดในการแก้ปัญหา คุณสามารถแก้ปัญหานี้ด้วยตัวเองตามตัวอย่างก่อนหน้านี้
มีสูตรสำหรับพิสัยของโพรเจกไทล์ ซึ่งคุณสามารถค้นหาหรือได้มาจากสมการความเร่งคงที่ แต่นี่ไม่ใช่ จำเป็นจริงๆ เพราะคุณรู้อยู่แล้วว่าความสูงสูงสุดของกระสุนปืน และจากจุดนี้ มันก็ตกอย่างอิสระภายใต้ผลกระทบของ แรงโน้มถ่วง
ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถกำหนดเวลาที่ดอกไม้ไฟจะตกลงสู่พื้น จากนั้นเพิ่มเวลานี้ไปยังเวลาบินให้สูงที่สุดเพื่อระบุเวลาบินทั้งหมด จากนั้น ก็เป็นกระบวนการเดียวกันกับการใช้ความเร็วคงที่ในแนวนอนควบคู่ไปกับเวลาบินเพื่อกำหนดระยะ
แสดงว่าเวลาบิน 11.5 วินาที และระยะ 236 ม. สังเกตว่าคุณจะต้อง คำนวณองค์ประกอบแนวตั้งของความเร็ว ณ จุดที่กระทบพื้นเป็นตัวกลาง ขั้นตอน