โมเมนตัมเชิงมุม: นิยาม สมการ หน่วย (พร้อมไดอะแกรมและตัวอย่าง)

พิจารณาฉาก: คุณกับเพื่อนกำลังยืนอยู่บนทางลาดยาวและลาดเอียงลงเนื่องจากปัญหาที่อยู่นอกเหนือการควบคุมของคุณ พวกคุณแต่ละคนได้รับลูกบอลในรัศมี 1 เมตรพอดี มีคนแจ้งมาว่าคุณทำมาจากวัสดุที่เหมือนโฟมและมีมวล 5 กก. ลูกบอลของเพื่อนคุณมีน้ำหนัก 5 กก. ซึ่งคุณตรวจสอบด้วยเครื่องชั่งขนาดพกพา

เพื่อนของคุณต้องการเดิมพันกับคุณว่าถ้าคุณปล่อยสองลูกพร้อมกัน คุณจะได้ไปที่ด้านล่างก่อน คุณอยากจะโต้แย้งว่าเนื่องจากลูกบอลมีมวลเท่ากันและมีรัศมีเท่ากัน (และด้วยเหตุนี้ปริมาตร) ลูกบอลจะถูกเร่งโดยแรงโน้มถ่วงลงทางลาดเป็นความเร็วเดียวกันตลอดการโค่นลง แต่มีบางอย่างหยุด "โมเมนตัม" ของการเดิมพันของคุณ และคุณไม่รับเดิมพัน...

...อย่างชาญฉลาดตามที่ปรากฎ แม้ว่ามันจะไม่สมเหตุสมผลในตอนแรก ลูกบอลของเพื่อนของคุณซึ่งดูเหมือนเป็นแฝดของคุณเอง เคลื่อนลงทางลาดช้ากว่าของคุณ หลังจากการทดสอบสิ้นสุดลง คุณจะต้องถอดลูกบอลออกและตรวจดูสัญญาณของการหลอกลวง สิ่งที่คุณพบคือน้ำหนัก 5 กก. ในลูกบอลของเพื่อนของคุณถูกกักขังอยู่ในเปลือกบางๆ ที่ด้านนอก โดยด้านในเป็นโพรง

แล้วการกำหนดค่าที่อธิบายข้างต้นทำให้ค่า v เอียงไปในทางที่ลูกของคุณชอบล่ะ? อย่างที่เกิดขึ้น เช่นเดียวกับ

วัตถุกลิ้งแข็งมีทั้งโมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุม เพราะเมื่อจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v (เท่ากับ กับความเร็วสัมผัสของลูกบอลหรือวงล้อ) ส่วนอื่น ๆ ของวัตถุหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลนั้นด้วยความเร็วเชิงมุม ω.

การกระจายมวลภายในวัตถุนั้นไม่มีผลต่อโมเมนตัมเชิงเส้นของมัน แต่เป็นตัวกำหนดโมเมนตัมเชิงมุมอย่างประณีต มันทำสิ่งนี้ผ่านปริมาณ "คล้ายมวล" (เพื่อวัตถุประสงค์ในการหมุน) ที่เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย ค่าที่สูงขึ้นของ ซึ่งหมายถึงทั้งความยากในการได้ของที่หมุนไปมาและการหยุดมันเมื่อได้มาแล้วจะยากขึ้น หมุน

โมเมนตัมเชิงมุมเป็นตัววัดความยากในการเปลี่ยนการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุ ขึ้นอยู่กับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุและความเร็วเชิงมุมของวัตถุ โมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคในระบบปิดจะเท่ากันเสมอ แม้ว่าอนุภาคแต่ละตัวจะผันผวนก็ตาม

โมเมนตัมเชิงมุมเป็นฟังก์ชันของการกระจายมวลรอบแกนด้วย เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งนี้โดยสัญชาตญาณ ลองนึกภาพว่ายืน 1 ฟุตจากจุดศูนย์กลางของม้าหมุนขนาดมหึมาที่ทำการหมุนหนึ่งครั้งทุกๆ 10 วินาที ทีนี้ลองนึกภาพว่าอยู่ในอุปกรณ์คุมกำเนิดเดียวกันด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากันขณะยืน 1ไมล์จากศูนย์ ไม่ต้องใช้จินตนาการมากนักในการจินตนาการถึงความแตกต่างของโมเมนตัมเชิงมุมในสองสถานการณ์นี้

​โมเมนตัมเชิงมุมเป็นผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยคูณความเร็วเชิงมุมหรือ:
​

ที่ไหนหลี่= โมเมนตัมเชิงมุม หน่วย kg∙m²/s,ผม= โมเมนต์ความเฉื่อยในหน่วย kg∙m², และ ω = ความเร็วเชิงมุมในหน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/s)

• ​ผมเรียกอีกอย่างว่าโมเมนต์ที่สองของพื้นที่

โปรดทราบว่าการอภิปรายได้ขยายจากมวลจุดเป็นวัตถุแข็ง เช่น ทรงกระบอกหรือทรงกลม โดยหมุนรอบแกน จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุมักจะไม่อยู่ที่ตัวมันเรขาคณิตศูนย์กลาง ดังนั้นค่าของผมขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของวัตถุ บ่อยครั้งสิ่งนี้มีความสมมาตรแต่ไม่เหมือนกัน เช่น จานกลวงที่มีมวลทั้งหมดเป็นแถบบางๆ ด้านนอก (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือวงแหวน)

เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมชี้ไปตามแกนของการหมุน ตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจากr, "กวาด" วงกลมของจุดใด ๆ ในวัตถุผ่านช่องว่าง

แผนภูมิอ้างอิงสำหรับค่าของผมสำหรับรูปร่างทั่วไปที่แตกต่างกันจะพบได้ในแหล่งข้อมูล ใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อเริ่มต้นปัญหาโมเมนตัมเชิงมุมพื้นฐานสองสามข้อ

• สังเกตว่าผมสำหรับเปลือกทรงกลมคือ (2/3)mr² ในขณะที่ทรงกลมคือ (2/5)mr². เมื่อย้อนกลับไปที่การเดิมพันในบทนำ คุณจะเห็นได้ว่าลูกบอลของเพื่อนของคุณมี (2/3)/(2/5) = 1.67 เท่าของโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นของคุณเอง โดยอธิบายว่าคุณชนะ "การแข่งขัน"

1. ดิสก์ที่มีความเฉื่อยในการหมุนผม1.5 กก.∙ม∙²/s หมุนรอบแกนด้วยความเร็วเชิงมุมωจาก 8 rad/s โมเมนตัมเชิงมุมของมันคืออะไรหลี่​?

2. แท่งบางยาว 15 เมตร มีน้ำหนัก 5 กิโลกรัม - เข็มนาฬิกาขนาดใหญ่ - หมุนรอบจุดที่กำหนดที่ปลายด้านหนึ่งด้วยความเร็วเชิงมุมωจาก 2π rad/60 s = (π/30) rad/s โมเมนตัมเชิงมุมของมันคืออะไรหลี่​?

คราวนี้ต้องดูค่าของผม. สำหรับไม้เรียวบางที่เคลื่อนที่ในลักษณะนี้ผม= (1/3)มr²​.

เปรียบเทียบสิ่งนี้กับคำตอบในตัวอย่างแรก สิ่งนี้ทำให้คุณประหลาดใจหรือไม่? ทำไมหรือทำไมไม่?

“การอนุรักษ์” หมายถึงสิ่งที่แตกต่างไปเล็กน้อยในทางฟิสิกส์มากกว่าที่ทำในขอบเขตของระบบนิเวศ มันหมายความว่าปริมาณรวมของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ (พลังงาน โมเมนตัม มวล และความเฉื่อยเป็น ปริมาณ "บิ๊กโฟร์" ที่อนุรักษ์ไว้ในฟิสิกส์) ในระบบรวมถึงจักรวาลยังคงอยู่ เหมือนกัน. หากคุณพยายามที่จะ "กำจัด" พลังงาน มันก็จะปรากฏขึ้นในรูปแบบอื่น และความพยายามใดๆ ที่จะ "สร้าง" พลังงานนั้นจะขึ้นอยู่กับแหล่งที่มีอยู่ก่อน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมระบุว่าในระบบปิด โมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมขึ้นอยู่กับความเร็วเชิงมุมและโมเมนต์ความเฉื่อย เราสามารถทำนายได้ว่าปริมาณเหล่านี้จะต้องเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อสัมพันธ์กันในสถานการณ์ที่กำหนด

• อย่างเป็นทางการ เนื่องจากแรงบิดสามารถแสดงเป็นτ= dหลี่/dt (อัตราการเปลี่ยนแปลงหากโมเมนตัมเชิงมุมกับเวลา) เมื่อผลรวมของแรงบิดในระบบเป็นศูนย์ จากนั้น dหลี่/dt ต้องเป็นศูนย์เช่นกัน และไม่มีการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมในระบบในช่วงเวลาที่ระบบได้รับการประเมิน ในทางกลับกัน ถ้า L ไม่คงที่ แสดงว่าแรงบิดในระบบไม่สมดุล (เช่นτ_{สุทธิ}คือไม่เท่ากับศูนย์)

นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญในตัวอย่างกลศาสตร์ต่างๆ จากชีวิตประจำวัน ตัวอย่างคลาสสิกคือนักสเก็ตน้ำแข็ง: เมื่อเธอกระโดดขึ้นไปในอากาศเพื่อทำสามเพลา เธอดึงแขนขาของเธอให้แน่น สิ่งนี้จะลดรัศมีโดยรวมของเธอรอบแกนการหมุนของเธอ ทำให้การกระจายมวลของเธอเปลี่ยนไปเพื่อให้โมเมนต์ความเฉื่อยของเธอลดลง (จำไว้ว่าผมเป็นสัดส่วนกับ mr²​).

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมถูกสงวนไว้ อย่างไรก็ตาม ถ้าผมลดลงความเร็วเชิงมุมของเธอต้องเพิ่มขึ้น นี่คือวิธีที่เธอหมุนเร็วพอที่จะหมุนหลายรอบกลางอากาศ! เมื่อเธอลงจอด เธอทำตรงกันข้าม - เธอกางแขนขาของเธอออก เปลี่ยนการกระจายมวลของเธอเพื่อเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยของเธอ ทำให้อัตราการหมุนของเธอช้าลง (ความเร็วเชิงมุม) ในทางกลับกัน

โดยตลอด โมเมนตัมเชิงมุมของระบบจะคงที่ แต่ตัวแปรที่กำหนดขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมสามารถจัดการได้ และส่งผลเชิงกลยุทธ์ได้ เช่นในกรณีนี้

เริ่มต้นในปี 1600 Isaac Newton เริ่มต้นการปฏิวัติฟิสิกส์คณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิภาพ เมื่อได้ร่วมคิดค้นแคลคูลัสแล้ว เขาก็อยู่ในตำแหน่งที่ดีที่จะยืนยันอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับกฎสากลที่สันนิษฐานได้ ควบคุมการเคลื่อนที่ของวัตถุ ทั้งแบบแปลน (เชิงเส้นและผ่านช่องว่าง) และแบบหมุน (แบบวนและประมาณ) แกน)

• ต่างๆกฎหมายอนุรักษ์ที่ได้รับการกล่าวถึงอย่างเพียงพอในภายหลังไม่ใช่ผลิตผลทางสมองของนิวตัน แต่มีความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างสิ่งเหล่านี้กับกฎการเคลื่อนที่

​กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันระบุว่าวัตถุนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่จะยังคงอยู่ในสถานะนี้ เว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ นี้เรียกอีกอย่างว่ากฎความเฉื่อย​

​กฎข้อที่สองของนิวตันอ้างว่าแรงสุทธิ netF_{สุทธิ}กระทำต่ออนุภาคที่มีมวลมมันจะมีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนความเร็วหรือความเร่งของมวลนั้น ความสัมพันธ์ที่มีชื่อเสียงนี้แสดงทางคณิตศาสตร์เป็นF_{สุทธิ}= ม​.

​กฎข้อที่สามของนิวตันกล่าวว่าสำหรับทุกแรงที่มีอยู่ในธรรมชาติมีแรงที่มีขนาดเท่ากัน แต่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม กฎข้อนี้มีนัยสำคัญสำหรับสมบัติของการเคลื่อนที่ที่อนุรักษ์ไว้ รวมทั้งโมเมนตัมเชิงมุม

ตอนนี้เป็นเวลาที่ดีในการทบทวนธรรมชาติ กฎเกณฑ์ และความสัมพันธ์ระหว่างบังคับ​, ​โมเมนตัม(มวลคูณความเร็ว) และพลังงานซึ่งไม่เพียงแต่ให้ข้อมูลในการอภิปรายเกี่ยวกับโมเมนตัมเชิงมุมเท่านั้น แต่ยังให้ข้อมูลอื่นๆ ในฟิสิกส์คลาสสิกอีกด้วย

ตามที่ระบุไว้ เว้นแต่วัตถุจะสัมผัสกับแรงภายนอก (หรือในกรณีของวัตถุที่หมุน แรงบิดจากภายนอก) การเคลื่อนที่ของวัตถุนั้นจะไม่ได้รับผลกระทบ อย่างไรก็ตาม บนโลกนั้น แรงโน้มถ่วงมักจะผสมกันเสมอ เช่นเดียวกับแรงต้านอากาศของผู้มีส่วนร่วมที่น้อยกว่าและการเสียดสีประเภทต่างๆ กองกำลัง ดังนั้นไม่มีอะไรจะเคลื่อนที่ต่อไปเว้นแต่จะได้รับพลังงานเป็นครั้งคราวเพื่อแทนที่สิ่งที่ "ถ่าย" โดย "การเคลื่อนไหว .เรื้อรังเหล่านี้" ขโมย."

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น อนุภาคมี aพลังงานทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยกำลังภายใน(เช่น การสั่นของโมเลกุล) และพลังงานกล. พลังงานกลเป็นผลรวมของพลังงานศักย์(วิชาพลศึกษา; พลังงาน "สะสม" มักจะผ่านแรงโน้มถ่วง) และพลังงานจลน์(KE; พลังงานของการเคลื่อนไหว) มีประโยชน์ PE + KE + IE= ค่าคงที่ของทุกระบบ ไม่ว่าจะเป็นมวลจุด (อนุภาคเดี่ยว) หรือมวลที่มีปฏิกิริยาโต้ตอบกัน

เมื่อคุณได้ยินคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ เช่น ความเร็ว ความเร่ง การกระจัด และโมเมนตัม คุณอาจสันนิษฐานโดยปริยายว่าบริบทนั้นเป็นการเคลื่อนที่เชิงเส้น อันที่จริงการเคลื่อนที่แบบหมุนมีปริมาณที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง

ในขณะที่การกระจัดเชิงเส้นวัดเป็นเมตร (m) ในหน่วย SI การกระจัดเชิงมุมวัดเป็นเรเดียน (2π rad = 360 องศา) ดังนั้นความเร็วเชิงมุมมีหน่วยวัดเป็น rad/s และแสดงโดยω, อักษรกรีกโอเมก้า

อย่างไรก็ตาม ในขณะที่มวลจุดเคลื่อนที่รอบแกนของการหมุนของมัน นอกเหนือจากความเร็วเชิงมุมแล้ว อนุภาคจะเคลื่อนตัวออกตามเส้นทางวงกลมด้วยอัตราที่กำหนด ซึ่งคล้ายกับการเคลื่อนที่เชิงเส้น อัตรานี้คือความเร็วสัมผัส​ ​วี_t​​,และเท่ากับ rω,ที่ไหนrคือรัศมีหรือระยะห่างจากแกนหมุน

ที่เกี่ยวข้องความเร่งเชิงมุม​ ​α(กรีกอัลฟา) คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมωและวัดเป็น rad/s². นอกจากนี้ยังมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง​ ​_คมอบให้โดยวี_t²/r,ซึ่งหันเข้าหาแกนหมุนเข้าด้านใน

• ขณะสนทนาโมเมนตัมเชิงมุม คู่ของ mวีในแง่เชิงเส้นจะได้รับการอภิปรายอย่างถี่ถ้วนในไม่ช้ารู้ว่าหนึ่งในองค์ประกอบผมสามารถคิดได้ว่าเป็นอะนาล็อกแบบหมุนของมวล

โมเมนตัมเชิงมุม เช่น แรง การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง เป็น aปริมาณเวกเตอร์เนื่องจากตัวแปรดังกล่าวมีทั้ง aขนาด(เช่น ตัวเลข) และ aทิศทางมักกำหนดเงื่อนไขขององค์ประกอบ x-, y- และ z แต่ละรายการ ปริมาณที่มีเฉพาะองค์ประกอบที่เป็นตัวเลข เช่น มวล เวลา พลังงาน และงาน เรียกว่าปริมาณสเกลาร์​.