วิธีค้นหา dy/dx โดยการแยกความแตกต่างโดยนัยโดยให้สมการที่คล้ายกันกับ y=sin (xy)

ความแตกต่างโดยนัยเป็นเทคนิคที่ใช้ในการกำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบ y = f (x)

ในการเรียนรู้วิธีใช้การสร้างความแตกต่างโดยนัย เราสามารถใช้วิธีนี้กับตัวอย่างง่ายๆ แล้วสำรวจกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น

แม้ว่าจะฟังดูซับซ้อนกว่า แต่การสร้างความแตกต่างโดยนัยจะใช้คณิตศาสตร์และทักษะเดียวกันทั้งหมดเป็นการสร้างความแตกต่างพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือตอนนี้ตัวแปรตามของเราปรากฏในฟังก์ชันแล้ว

ใช้สมการง่าย ๆ เช่น xy = 1 มีสองวิธีในการหาอนุพันธ์ของ y เกี่ยวกับ x, หรือ dy/dx. อันดับแรก เราสามารถแก้หา y ในสมการและใช้กฎกำลังสำหรับอนุพันธ์ การทำเช่นนี้จะให้ผล: y = 1/x การใช้กฎกำลังจะเปิดเผยว่า dy/dx = -1/x².

เราสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้โดยใช้การสร้างความแตกต่างโดยนัย โชคดีที่เรารู้คำตอบแล้ว (ควรจะเหมือนกันไม่ว่าเราจะคำนวณอย่างไร) เพื่อให้เราสามารถตรวจสอบงานของเราได้!

ในการเริ่มต้น ให้ใช้อนุพันธ์กับทั้งสองข้างของสมการ xy = 1 จากนั้น d/dx (xy) = d/dx (1); เห็นได้ชัดว่าด้านขวาตอนนี้เท่ากับ 0 แต่ด้านซ้ายต้องใช้กฎลูกโซ่ นี่เป็นเพราะว่าเรากำลังหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของเรา yในขณะที่กำลังคูณกับปัจจัยอื่นของ

การเขียนสมการใหม่ได้ผลลัพธ์: y + xy' = 0 ได้เวลาแก้ปัญหาเพื่อ คุณ ในสมการของเรา! เห็นได้ชัดว่า y' = -y/x แต่จากข้อมูลเดิม เรารู้ว่า y= 1/x เราจึงสามารถแทนค่านี้กลับเข้าไปใหม่ได้ เมื่อเราทำเช่นนั้น เราจะเห็นว่า y' = -1/x²เหมือนกับที่เราเคยพบมาก่อน

ในการหาอนุพันธ์ของ y = sin (xy) เราจะใช้การสร้างความแตกต่างโดยปริยายโดยจำได้ว่า (d/dx) y = y'

ขั้นแรก ใช้อนุพันธ์กับทั้งสองข้างของสมการ: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)) ด้านซ้ายของสมการชัดเจน is คุณซึ่งเป็นสิ่งที่เราจะต้องแก้ไข แต่ด้านขวาจะต้องทำงานบ้าง โดยเฉพาะกฎลูกโซ่และกฎผลิตภัณฑ์ ขั้นแรก กฎลูกโซ่ต้องนำไปใช้กับบาป (xy) จากนั้นกฎผลิตภัณฑ์สำหรับอาร์กิวเมนต์ xy. โชคดีที่เราคำนวณกฎผลิตภัณฑ์นี้แล้ว

ต่อไป ทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้น: y' = cos (xy)(y + xy')

เห็นได้ชัดว่าต้องแก้สมการนี้เพื่อ คุณ เพื่อกำหนดวิธีการ คุณ เกี่ยวข้องกับ x และ y.

แยกข้อตกลงทั้งหมดด้วย คุณ ด้านหนึ่ง: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy)

จากนั้นแยกตัวประกอบ คุณ ที่จะได้รับ: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy)

ตอนนี้เราเห็นว่า y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy))

การทำให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้น จำเป็น แต่เนื่องจากฟังก์ชันของเราถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำ การเสียบ y = sin (xy) จะไม่ให้ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ ในกรณีนี้ ข้อมูลเพิ่มเติมหรือวิธีการที่ซับซ้อนกว่าสำหรับการพล็อตสมการเหล่านี้อาจมีประโยชน์

อันดับแรก จำไว้ว่าความแตกต่างโดยนัยนั้นอาศัยตัวแปรตัวหนึ่งที่เป็นฟังก์ชันของอีกตัวหนึ่ง โดยทั่วไป เราจะเห็นฟังก์ชันเป็น y = f (x) แต่เราสามารถเขียนฟังก์ชัน x = f (y) ได้ ระวังเมื่อเข้าใกล้ปัญหาเหล่านี้เพื่อพิจารณาว่าตัวแปรใดขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่น

ต่อไป อย่าลืมใช้กฎอนุพันธ์อย่างระมัดระวัง ความแตกต่างโดยนัยจะต้องใช้กฎลูกโซ่บ่อยมาก เช่นเดียวกับกฎผลิตภัณฑ์และกฎผลหาร การใช้วิธีการเหล่านี้อย่างถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญในการพิจารณาคำตอบสุดท้าย

สุดท้าย ให้แก้หาอนุพันธ์ที่ต้องการโดยแยกมันออกมา และทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นมากที่สุด