Har du någonsin undrat hur mycket vatten eller kaffe som kan passa in i en av dessa till synes oräkneliga engångsvattenkoppar av plast, den typen som är smalare vid basen än högst upp? Med andra ord, nästan alla pappers-, plast- eller andra engångskoppar du någonsin har sett eller använt? (För att vara rättvis har vissa koppar inte sluttande sidor och är därför cylindriska, men detta verkar bara gälla för permanent koppar.)
Typen av form som beskrivs ovan är baserad på a kon, vilket är resultatet av en linje som sveper genom rymden och spårar en böjd bana som en cirkel (i det enklaste fallet) eller en ellips. En kopp är vanligtvis inte spetsig (vissa som innehåller frysta godsaker är), men det är fortfarande en "bit" av en kon, geometriskt sett. Det gör det enkelt, med tålamod, att hitta volymen.
Volymen på en kon
Formeln för volymen på en vanlig eller höger kon (det vill säga en med en cirkulär bas) är
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Var r är basens radie och h är konens höjd. Eftersom sidan från sidan ser en höger kon ut som två högra trianglar placerade tillsammans, längden
s = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Volymen av en avsmalnande kopp: Del ett
Anta att du har en kopp som är 8 centimeter (cm) bred vid basen, 10 cm överst och 15 cm lång. Hur mycket vätska kan den hålla i cm3, även kallad milliliter (ml)?
Ett sätt att närma sig detta problem är att rita ett tvärsnitt av koppen, det vill säga hur det ser ut från sidan efter att ha klippts exakt i halva vinkelrätt mot ditt synfält. Om du ritar vertikala linjer uppåt från de två punkter där basen möter sidorna till toppen av koppen har du nu delat tvärsnittet i två lika, reflekterade högra trianglar och a rektangel. Trianglarna har långa "ben" på 15 cm och korta "ben" på 1 cm (delar upp skillnaden mellan basbredd och toppbredd).
Volymen av en avsmalnande kopp: Del två
Observera vad som händer om du förlänger koppens sidor i diagrammet ner till en punkt under basen. Förläng också en linje upp från mitten av toppen mot den punkt som dessa linjer konvergerar mot. (Du kanske inte har plats för att få sidorna att mötas och bilda en sluten triangel, men komma så nära du kan)
På grund av principen om liknande trianglar vet du att förhållandet mellan trianglarnas långa ben (15 cm) och det lilla benets (1 cm) eller 15 till 1, måste vara samma som förhållandet mellan det lilla benet och det långa benet på en av de nyskapade trianglarna mellan basen på "koppen" och punkt. Eftersom det lilla benet har ett värde på 4 cm måste det långa benet vara 15 gånger så, eller 60 cm.
Således har du nu att göra med tvärsnittet av en kon med en total höjd på 15 + 60 = 75 cm och en bredd på 10 cm, vilket betyder en radie på 5 cm. Volymen på denna kon minus volymen på konen som sträcker sig upp till koppens botten, som har en höjd på 60 cm och en bredd på 8 cm (r = 4 cm) ger önskat resultat:
\ begin {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {ml} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {ml} \ slut {justerad}
Således rymmer din kopp mycket nära 1 liter (1000 ml) vätska.
Kon- och koppvolymkalkylator
Se resurserna för en lista över miniräknare med kottar med olika initiala kombinationer av information. Alternativt kan du använda ett sådant tillvägagångssätt ovan och dela upp koppen i olika former och sedan använda enklare formler (som formeln för en kubs volym) i lämpliga kombinationer för att hitta summan volym.