Matematiska funktioner är kraftfulla verktyg för affärer, teknik och vetenskap eftersom de kan fungera som miniatyrmodeller av verkliga fenomen. För att förstå funktioner och relationer måste du gräva lite i begrepp som uppsättningar, ordnade par och relationer. En funktion är en speciell typ av relation som bara har enyvärde för en givenxvärde. Det finns andra typer av relationer som ser ut som funktioner men som inte uppfyller den strikta definitionen av en.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En relation är en uppsättning tal ordnade i par. En funktion är en speciell typ av relation som bara har enyvärde för en givenxvärde.
Uppsättningar, beställda par och relationer
För att beskriva relationer och funktioner hjälper det att först diskutera uppsättningar och ordnade par. Kortfattat är en uppsättning siffror en samling av dem, som vanligtvis finns i lockiga hakparenteser, som {15,1, 2/3} eller {0, .22}. Vanligtvis definierar du en uppsättning med en regel, såsom alla jämna siffror mellan 2 och 10 inklusive: {2,4,6,8,10}.
En uppsättning kan ha valfritt antal element, eller inget alls, det vill säga nolluppsättningen {}. Ett ordnat par är en grupp med två siffror inneslutna inom parentes, såsom (0,1) och (45, −2). För enkelhets skull kan du ange det första värdet i ett beställt parxvärde och den andrayvärde. En relation organiserar ordnade par i en uppsättning. Till exempel är uppsättningen {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} en relation. Du kan plottaxochyvärden för en relation i ett diagram med hjälp avxochyaxlar.
Relationer och funktioner
En funktion är en relation där en givenxvärdet har bara en motsvarandeyvärde. Du kanske tror att med beställda par, varderaxhar bara enyvärde ändå. Observera dock att i exemplet med en relation som ges ovanxvärdena 1 och 2 har vardera två motsvarandeyvärdena 0 och 5 respektive 10 respektive 15. Denna relation är inte en funktion. Regeln ger funktionsrelationen en definitivitet som annars inte existerar, i termer avxvärden. Du kan fråga närxär 1, vad äryvärde? För ovanstående relation har frågan inget definitivt svar; det kan vara 0, 5 eller båda.
Undersök nu ett exempel på en relation som är en sann funktion: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. Dexvärdena upprepas inte någonstans. Som ett annat exempel, titta på {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Vissayvärden upprepas, men detta bryter inte mot regeln. Du kan fortfarande säga att när värdet påxär 0,yär definitivt 5.
Graffunktioner: Vertikalt linjetest
Du kan avgöra om en relation är en funktion genom att plotta siffrorna i en graf och tillämpa det vertikala linjetestet. Om ingen vertikal linje som passerar genom grafen skär den vid mer än en punkt, är förhållandet en funktion.
Fungerar som ekvationer
Att skriva ut en uppsättning beställda par som en funktion är ett enkelt exempel, men blir snabbt tråkigt när du har fler än några siffror. För att ta itu med detta problem skriver matematiker funktioner i form av ekvationer, t.ex.
y = x ^ 2 - 2x + 3
Med denna kompakta ekvation kan du generera så många ordnade par som du vill: Anslut olika värden förx, gör matte och ut kommer dinyvärden.
Verkliga användningsområden för funktioner
Många funktioner fungerar som matematiska modeller, så att människor kan förstå detaljer om fenomen som annars skulle förbli mystiska. För att ta ett enkelt exempel är avståndsekvationen för ett fallande föremål
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
vartär tid i sekunder, ochgär accelerationen på grund av tyngdkraften. Anslut 9,8 för jordens tyngdkraft i meter per sekund i kvadrat och du kan hitta avståndet som ett objekt tappade när som helst. Observera att modellerna har begränsningar för sin användbarhet. Exempelekvationen fungerar bra för att släppa en stålkula men inte en fjäder eftersom luften saktar ner fjädern.