Att lära sig att hantera exponenter utgör en integrerad del av varje matteutbildning, men tack och lov matchar reglerna för att multiplicera och dela dem reglerna för icke-fraktionerade exponenter. Det första steget för att förstå hur man hanterar fraktionerade exponenter är att få en översikt över vad de exakt är, och sedan kan du titta på hur du kan kombinera exponenter när de multipliceras eller delas och de har samma bas. Kort sagt lägger du till exponenterna när du multiplicerar och subtraherar varandra från varandra när du delar, förutsatt att de har samma bas.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Multiplicera termer med exponenter med den allmänna regeln:
xa + xb = x(a + b)
Och dela termer med exponenter med hjälp av regeln:
xa ÷ xb = x(a – b)
Dessa regler fungerar med alla uttryck i stället föraochb, till och med fraktioner.
Vad är fraktionerade exponenter?
Fraktionerade exponenter ger ett kompakt och användbart sätt att uttrycka kvadrat, kub och högre rötter. Nämnaren på exponenten berättar vilken rot av "bas" -talet termen representerar. I en term som
xa, du ringerxbasen ochaexponenten. Så en fraktionerad exponent berättar:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Nämnaren av två på exponenten säger att du tar kvadratroten avxi detta uttryck. Samma grundregel gäller för högre rötter:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Och
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Detta mönster fortsätter. För ett konkret exempel:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Och
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Fraktionsexponentregler: Multiplicera fraktionerade exponenter med samma bas
Multiplicera termer med fraktionerade exponenter (förutsatt att de har samma bas) genom att lägga till exponenterna. Till exempel:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Eftersomx1/3 betyder "kubrot avx, ”Det är helt vettigt att detta multiplicerat med sig själv två gånger ger resultatetx. Du kan också stöta på exempel somx1/3 × x1/3, men du hanterar dessa på exakt samma sätt:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Det faktum att uttrycket i slutet fortfarande är en fraktionerad exponent gör ingen skillnad för processen. Detta kan förenklas om du noterar detx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Med ett sådant uttryck spelar det ingen roll om du först tar roten eller kraften. Det här exemplet illustrerar hur man beräknar dessa:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Eftersom kubroten på 8 är lätt att träna, tackla detta på följande sätt:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Så det betyder:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Du kan också stöta på produkter av fraktionerade exponenter med olika nummer i nämnarna för fraktionerna, och du kan lägga till dessa exponenter på samma sätt som du skulle lägga till andra fraktioner. Till exempel:
\ börja {justeras} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ slut {justerad}
Dessa är alla specifika uttryck för den allmänna regeln för att multiplicera två uttryck med exponenter:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Fraktionsexponentregler: Dela fraktionerade exponenter med samma bas
Hantera uppdelningar av två nummer med fraktionerade exponenter genom att subtrahera exponenten du delar (delaren) med den du delar (utdelningen). Till exempel:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Detta är vettigt, eftersom varje tal som är delat av sig själv är lika med ett, och detta överensstämmer med standardresultatet att varje tal som höjs till en effekt av 0 är lika med ett. Nästa exempel använder siffror som baser och olika exponenter:
\ börja {justeras} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ slut {justerad}
Som du också kan se om du noterar att 161/2 = 4 och 161/4 = 2.
Som med multiplikation kan du också sluta med fraktionerade exponenter som har ett annat nummer än en i täljaren, men du hanterar dessa på samma sätt.
Dessa uttrycker helt enkelt den allmänna regeln för att dela exponenter:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Multiplicera och dela upp fraktionerade exponenter i olika baser
Om grunden för villkoren är olika finns det inget enkelt sätt att multiplicera eller dela exponenter. I dessa fall beräknar du helt enkelt värdet på de enskilda termerna och utför sedan den operation som krävs. Det enda undantaget är om exponenten är densamma, i vilket fall du kan multiplicera eller dela dem på följande sätt:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4