Alla matematikstudenter och många naturvetenskapliga studenter stöter på polynomier någon gång under sina studier, men tack och lov är de lätta att hantera när du lär dig grunderna. De viktigaste operationerna du behöver göra med polynomiska uttryck är att lägga till, subtrahera, multiplicera och delning, och medan delning kan vara komplex, kommer du oftast att kunna hantera grunderna med lätthet.
Polynom: Definition och exempel
Polynom beskriver ett algebraiskt uttryck med en eller flera termer som involverar en variabel (eller mer än en), med exponenter och möjligen konstanter. De kan inte inkludera delning med en variabel, kan inte ha negativa eller bråkdelade exponenter och måste ha ett begränsat antal termer.
Det här exemplet visar ett polynom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Och detta visar en annan:
xy ^ 2 - 3 x + y
Det finns många sätt att klassificera polynom, inklusive efter grad (summan av exponenterna på den högsta effektperioden, t.ex. 3 i första exemplet) och med antalet termer de innehåller, såsom monomialer (en term), binomialer (två termer) och trinomialer (tre villkor).
Lägga till och subtrahera polynom
Att lägga till och subtrahera polynomer beror på att man kombinerar "liknande" termer. En liknande term är en med samma variabler och exponenter som en annan, men antalet de multipliceras med (koefficienten) kan vara annorlunda. Till exempel,x2 och 4x 2 är som termer eftersom de har samma variabel och exponent, och 2xy 4 och 6xy 4 är lika termer också. I alla fall,x2, x3, x2y2 ochy2 är inte som termer, eftersom var och en innehåller olika kombinationer av variabler och exponenter.
Lägg till polynom genom att kombinera liknande termer på samma sätt som du skulle med andra algebraiska termer. Titta till exempel på problemet:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Samla liknande villkor för att få:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Och utvärdera sedan genom att helt enkelt lägga ihop koefficienterna och kombinera dem till en enda term:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Observera att du inte kan göra någonting medyeftersom det inte har någon liknande term.
Subtraktion fungerar på samma sätt:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Observera först att alla termer i den högra fästet subtraheras från de i den vänstra fästet, så skriv det som:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombinera liknande termer och utvärdera för att få:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
För ett problem som detta:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Observera att minustecknet tillämpas på hela uttrycket i höger parentes, så de två negativa tecknen före 3x2 bli ett tilläggstecken:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Beräkna sedan som tidigare.
Multiplicera polynomiska uttryck
Multiplicera polynomuttryck med multiplikationens fördelningsegenskap. Kort sagt, multiplicera varje term i det första polynomet med varje term i den andra. Titta på det här enkla exemplet:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Du löser detta med hjälp av den fördelande egenskapen, så:
\ börja {justeras} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {align}
Hantera mer komplicerade problem på samma sätt:
\ begin {inriktad} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ slut {justerad}
Dessa problem kan bli komplicerade för större grupperingar, men den grundläggande processen är fortfarande densamma.
Dela polynomiska uttryck
Att dela polynomiska uttryck tar längre tid men du kan hantera det i steg. Titta på uttrycket:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Skriv först uttrycket som en lång uppdelning, med delaren till vänster och utdelningen till höger:
x + 2) \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10}
Dela den första terminen i utdelningen med den första terminen i delaren och lägg resultatet på linjen ovanför divisionen. I detta fall,x2 ÷ x = x, så:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
Multiplicera detta resultat med hela delaren, så i det här fallet, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Sätt detta resultat under uppdelningen:
\ börja {justerad} & x \\ x + 2) & \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ slut {justerad}
Subtrahera resultatet på den nya raden från termerna direkt ovanför den (notera att du tekniskt ändrar tecknet, så om du hade ett negativt resultat skulle du lägga till det istället) och lägg det på en rad nedanför det. Flytta också den sista terminen från den ursprungliga utdelningen.
\ börja {justerad} & x \\ x + 2) & \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slut {justerad}
Upprepa nu processen med delaren och det nya polynomet i botten. Dela så uppdelarens första term (x) med utdelningens första löptid (−5x) och lägg detta ovan:
\ börja {justerad} & x -5 \\ x + 2) & \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slut {justerad}
Multiplicera detta resultat (−5x ÷ x= −5) av den ursprungliga delaren (så (x + 2) × −5 = −5 x−10) och lägg resultatet på en ny rutt:
\ börja {justeras} & x -5 \\ x + 2) & \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ slut {justerad}
Subtrahera sedan den nedre raden från nästa uppåt (så i det här fallet ändra tecknet och lägg till), och lägg resultatet på en ny nedre rad:
\ börja {justeras} & x -5 \\ x + 2) & \ överlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {align}
Eftersom det nu finns en rad nollor längst ner är processen klar. Om det inte fanns nolltermer kvar, skulle du upprepa processen igen. Resultatet är på den översta raden, så:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Denna delning och några andra kan lösas enklare om du kan faktor polynom i utdelningen.