Konceptet avegenvärdenär dunkel men kommer mycket bra för matematiker och fysikaliska forskare som står inför vissa intressanta problem.
För att förstå en egenvärde, föreställ dig att du har en funktion (t.ex.y = x2 + 6x, ellery= logg 4x) som du kan genomföra någon process så att resultatet blir detsamma som att multiplicera hela funktionen med ett konstant värde. En sådan funktion skulle kunna betecknas som enegenfunktion, och konstanten skulle vara en egenvärde.
- "Eigen" är tyska för "samma".
För att bäst förstå egenvärden och egenfunktioner och själv kunna beräkna egenvärden behöver du en grundläggande förståelse för matriser. Dessa matematiska knep används för att bestämma säg, bindningsordningen för NO2 (kvävedioxid) och andra molekyler, eftersom elektronbeteende i atomer bestäms av vågfunktioner som kvalificerar som egenfunktioner.
Vad är en matris?
En matris är en matris med nummer ordnade i rader och kolumner, som kan vara från 1 tilln. Matrisernas mått anges som rad för kolumn; till exempel är följande en 2-för-3-matris:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matriser kan läggas till om de har samma storlek (det vill säga har samma antal rader och samma antal kolumner). De kan också multipliceras tillsammans med en stegvis process under samma förhållanden. Dessutom kan vilken matris som helst multipliceras med en vektor, som är en 1-för-nellern-by-1-matris; detta inkluderar andra vektorer.
Vad är en Eigenvalue-ekvation?
Säg att du har enn-förbi-neller "kvadratisk" matrisA, ett icke-nolln-by-1-vektorvoch en skalärλ, så att följande ekvation är uppfylld:
\ fet {Av} = λ \ fet {v}
Något värde avλför vilken denna ekvation har en lösning är känd som en egenvärde för matrisenA.
Låt inte ditt sinne behandla ovanstående uttryck som produkt.Aär enoperatörpå eller en linjär transformation av vektornv, denna beräkning är endast möjlig på grund avAochvbåda harnrader.
Varför använda Eigenvalue-funktioner?
Derivationen är komplicerad, men i atomkemi används den Hamiltoniska operatören "H-bar" för att uttrycka den kinetiska och potentiella energin i ett system:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Detta används för att skriva en form avSchrodinger vågfunktionsekvationi kvantmekanik:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
HärErepresenterar egenvärdena som uppfyller denna ekvation.
Sätt att hitta Eigenvärden för en matris
Från ekvationen Av = λv får duA v − λv=0. Det här leder till:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
VarJagär 2-för-2-identitetsmatrisen med rader av [λ0] och [0λ], vilket leder till 1 multiplicerat med skalärenλ. Detta resultat ger:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Vilket omvär noll, har bara en lösning om det absoluta värdet påA− λJag, eller |A − λJag|, är noll. Om du gör dessa för hand innebär det att lösa en kvadratisk ekvation och det kan vara tråkigt.
För att multiplicera två matriser tillsammans, för varje punkt i produktmatrisen, multiplicerar du motsvarande poäng tillsammans och lägg till detta i produkterna för de återstående raden och kolumnelementen i raden och kolumnen som den nya punkten till tillhör.
Vid multiplicering av två 2-för-2-matriserAochBtillsammans, om den första raden avAär [1 3] och den första kolumnen iBär [2 5], siffran i den första kolumnen och raden i den nya matrisen skulle vara [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, och motsvarande för de andra tre punkterna.
Beräkna Eigenvalues Online
I resurserna hittar du ett matrisberäkningsverktyg som låter dig hitta egenvärden och mer för en matris av nästan vilken tänkbar storlek som helst.