Det finns en viktig stor skillnad mellan att hitta den vertikala asymptoten i diagrammet för en rationell funktion och att hitta ett hål i diagrammet för den funktionen. Även med de moderna diagramräknare som vi har är det mycket svårt att se eller identifiera att det finns ett hål i diagrammet. Denna artikel visar hur man identifierar både analytiskt och grafiskt.
Vi kommer att använda en given rationell funktion som ett exempel för att visa analytiskt, hur man hittar en vertikal asymptot och ett hål i diagrammet för den funktionen. Låt den rationella funktionen vara,... f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6).
Faktorisering av nämnaren för f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6). Vi får följande motsvarande funktion, f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)]. Om nu nämnaren (x-2) (x-3) = 0, kommer den rationella funktionen att vara odefinierad, det vill säga fallet med division med noll (0). Se artikeln 'Hur man delar med noll (0)', skriven av samma författare, Z-MATH.
Vi kommer att märka att division efter noll endast är odefinierad om det rationella uttrycket har en räknare som inte är lika med noll (0) och nämnaren är lika med noll (0), i detta fall kommer grafen för funktionen att gå utan gränser mot positiv eller negativ oändlighet till värdet x som får nämnarens uttryck till lika med noll. Det är vid denna x som vi drar en vertikal linje, kallad The Vertical Asymptote.
Nu om täljaren och nämnaren för det rationella uttrycket båda är noll (0), för samma värde på x, då Division av noll vid detta värde av x sägs vara 'meningslöst' eller obestämt, och vi har ett hål i diagrammet till detta värde av x.
Så i den rationella funktionen f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)] ser vi att vid x = 2 eller x = 3 är nämnaren lika med noll (0 ). Men vid x = 3 märker vi att räknaren är lika med (1), det vill säga f (3) = 1/0, därav en vertikal asymptot vid x = 3. Men vid x = 2 har vi f (2) = 0/0, 'meningslöst'. Det finns ett hål i diagrammet vid x = 2.
Vi kan hitta koordinaterna för hålet genom att hitta en ekvivalent rationell funktion till f (x), som har alla samma punkter på f (x) utom vid punkten x = 2. Låt g (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)], x ≠ 2, så genom att reducera till lägsta termer har vi g (x) = 1 / (x- 3). Genom att ersätta x = 2 får vi denna funktion g (2) = 1 / (2-3) = 1 / (- 1) = -1. så att hålet i diagrammet för f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6) är vid (2, -1).
Saker du behöver
- Papper och
- Penna.