Rötterna till ett polynom kallas också dess nollor, eftersom rötterna är dexvärden där funktionen är lika med noll. När det gäller att hitta rötterna har du flera tekniker till ditt förfogande; factoring är den metod du använder oftast, även om grafer också kan vara användbara.
Hur många rötter?
Undersök polynomens högsta gradsterm - det vill säga termen med den högsta exponenten. Den exponenten är hur många rötter polynomet kommer att ha. Så om den högsta exponenten i ditt polynom är 2, kommer den att ha två rötter; om den högsta exponenten är 3, kommer den att ha tre rötter; och så vidare.
Varningar
-
Det finns en fångst: Rötter av ett polynom kan vara verkliga eller imaginära. "Riktiga" rötter är medlemmar i uppsättningen som kallas reella tal, som vid denna tidpunkt i din matematiska karriär är varje nummer du är van vid att hantera. Att behärska imaginära siffror är ett helt annat ämne, så för nu, kom bara ihåg tre saker:
- "Imaginära" rötter dyker upp när du har kvadratroten av ett negativt tal. Till exempel √ (-9).
- Fantasirötter kommer alltid parvis.
- Rötterna till ett polynom kan vara verkliga eller imaginära. Så om du har ett polynom av 5: e graden kan det ha fem verkliga rötter, det kan ha tre riktiga rötter och två imaginära rötter, och så vidare.
Find Roots by Factoring: Exempel 1
Det mest mångsidiga sättet att hitta rötter är att fakturera ditt polynom så mycket som möjligt och sedan ställa in varje term lika med noll. Detta är mycket mer meningsfullt när du har följt några exempel. Tänk på det enkla polynometx2 – 4x:
En kort undersökning visar att du kan ta medxut ur båda termerna i polynomet, vilket ger dig:
x (x - 4)
Sätt varje term till noll. Det betyder att lösa två ekvationer:
x = 0
är den första termen satt till noll, och
x - 4 = 0
är den andra termen satt till noll.
Du har redan lösningen på den första terminen. Omx= 0, då är hela uttrycket lika med noll. Såx= 0 är en av polynomets rötter eller nollor.
Tänk nu på den andra termen och lös påx. Om du lägger till 4 på båda sidor har du:
x - 4 + 4 = 0 + 4
vilket förenklar till:
x = 4
Så omx= 4 då är den andra faktorn lika med noll, vilket betyder att hela polynomet också är lika med noll.
Eftersom det ursprungliga polynomet var av andra graden (den högsta exponenten var två), vet du att det bara finns två möjliga rötter för detta polynom. Du har redan hittat dem båda, så allt du behöver göra är att lista dem:
x = 0, x = 4
Find Roots by Factoring: Exempel 2
Här är ytterligare ett exempel på hur man hittar rötter genom att ta en faktor, med hjälp av lite snygg algebra längs vägen. Tänk på polynomx4 – 16. En snabb titt på dess exponenter visar att det borde finnas fyra rötter för detta polynom; nu är det dags att hitta dem.
Märkte du att detta polynom kan skrivas om som skillnaden i rutor? Så istället förx4 - 16, du har:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Vilket, med hjälp av formeln för skillnaden i kvadrater, påverkar följande:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Den första termen är återigen en skillnad i rutor. Så även om du inte kan ta med termen till höger längre, kan du faktorera termen till vänster ett steg till:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nu är det dags att hitta nollorna. Det blir snabbt klart att omx= 2, den första faktorn kommer att vara lika med noll, och därmed kommer hela uttrycket att vara lika med noll.
På samma sätt, omx= −2, den andra faktorn kommer att vara lika med noll och därmed också hela uttrycket.
Såx= 2 ochx= −2 är båda nollor eller rötter till detta polynom.
Men hur är det med den sista terminen? Eftersom den har en "2" -eksponent bör den ha två rötter. Men du kan inte ta hänsyn till detta uttryck med de verkliga siffrorna du är van vid. Du måste använda ett mycket avancerat matematiskt koncept som kallas imaginära tal eller, om du föredrar, komplexa tal. Det är långt utanför ramen för din nuvarande matematikövning, så för närvarande räcker det att notera att du har två riktiga rötter (2 och −2) och två imaginära rötter som du lämnar odefinierade.
Hitta rötter efter diagram
Du kan också hitta eller åtminstone uppskatta rötter genom att grafera. Varje rot representerar en plats där grafen för funktionen passerarxaxel. Så om du ritar ut raden och sedan noterarxkoordinater där linjen passerarxaxel kan du infoga det beräknadexvärdena för dessa punkter i din ekvation och kontrollera om du har fått dem korrekta.
Tänk på det första exemplet du arbetade, för polynomx2 – 4x. Om du drar ut det försiktigt ser du att linjen passerarxaxel vidx= 0 ochx= 4. Om du matar in vart och ett av dessa värden i den ursprungliga ekvationen får du:
0^2 - 4(0) = 0
såx= 0 var en giltig noll eller rot för detta polynom.
4^2 - 4(4) = 0
såx= 4 är också en giltig noll eller rot för detta polynom. Och eftersom polynomet var av grad 2 vet du att du kan sluta leta efter att hitta två rötter.