Du kan representera valfri linje som du kan rita på en tvådimensionell x-y-axel med en linjär ekvation. Ett av de enklaste algebraiska uttrycken, en linjär ekvation är en som relaterar den första effekten av x till den första effekten av y. En linjär ekvation kan anta en av tre former: lutningspunktsformen, lutningsavlyssningsformen och standardformen. Du kan skriva standardformuläret på ett av två motsvarande sätt. Den första är:
Ax + By + C = 0
där A, B och C är konstanter. Det andra sättet är:
Ax + By = C
Observera att detta är generaliserade uttryck, och konstanterna i det andra uttrycket är inte nödvändigtvis desamma som de i det första. Om du vill konvertera det första uttrycket till det andra för specifika värden A, B och C, måste du skriva
Ax + By = -C
Hämta standardformuläret för en linjär ekvation
En linjär ekvation definierar en linje på x-y-axeln. Välja två punkter på raden, (x1, y1) och (x2, y2), låter dig beräkna linjens lutning (m). Per definition är det "uppgången", eller förändringen i y-koordinaten dividerad med förändringen i x-koordinaten.
m = \ frac {∆y} {∆x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
Låt nu (x1, y1) vara en viss punkt (a, b) och låt (x2, y2) vara odefinierad, det vill säga alla värden påxochy. Uttrycket för lutning blir
m = \ frac {y - b} {x - a}
vilket förenklar till
m (x - a) = y - b
Detta är linjens lutningspunktsform. Om istället för (a, b) väljer du punkten (0,b) blir denna ekvationmx = y − b. Omorganisera för att sättayav sig själv på vänster sida ger dig lutningsavlyssningsformen för linjen:
y = mx + b
Lutningen är vanligtvis ett bråktal, så låt det vara lika med -A/B. Du kan sedan konvertera detta uttryck till standardformuläret för en linje genom att flyttaxsikt och konstant till vänster och förenklar:
Ax + By = C
varC = Bbeller
Ax + By + C = 0
varC = −Bb
Exempel 1
Konvertera till standardform:
y = \ frac {3} {4} x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Denna ekvation är i standardform.A = 3, B= −2 ochC = 2
Exempel 2
Hitta standardformsekvationen för linjen som passerar genom punkterna (-3, -2) och (1, 4).
\ börja {align} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ slut {justerad}
Den generiska lutningspunktsformen är
m (x - a) = y - b
Om du använder punkten (1, 4) blir detta
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Denna ekvation är i standardformYxa + Förbi + C= 0 därA = 2, B= −1 ochC = 2