Ekvationer är sanna om båda sidor är desamma. Egenskaper hos ekvationer illustrerar olika begrepp som håller båda sidor av en ekvation desamma, oavsett om du lägger till, subtraherar, multiplicerar eller delar. I algebra står bokstäver för siffror som du inte känner till, och egenskaper skrivs med bokstäver för att bevisa att oavsett vilka siffror du ansluter till dem kommer de alltid att vara sanna. Du kan tänka på dessa egenskaper som "algebra regler" som du kan använda för att hjälpa dig att lösa matematiska problem.
Associativa och kommutativa egenskaper
Associerande och kommutativa egenskaper båda har formler för addition och multiplikation. Dekommutativ egenskap för tilläggsäger att om du lägger till två siffror spelar det ingen roll vilken ordning du placerar dem. Till exempel är 4 + 5 samma som 5 + 4. Formeln är:
a + b = b + a
Alla nummer du ansluter tillaochbkommer fortfarande att göra fastigheten sann.
Dekommutativ egenskap multiplikationformeln lyder
a × b = b × a
Det betyder att när du multiplicerar två nummer spelar det ingen roll vilket nummer du skriver in först. Du kommer fortfarande att få 10 om du multiplicerar 2 × 5 eller 5 × 2.
Deassocierande egendom för tilläggsäger att om du grupperar två nummer och lägger till dem och sedan lägger till ett tredje nummer spelar det ingen roll vilken gruppering du använder. I formelform ser det ut som
(a + b) + c = a + (b + c)
Till exempel
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {då} 2 + (3 + 4) = 9
På samma sätt, om du multiplicerar två nummer och sedan multiplicerar produkten med ett tredje nummer, spelar det ingen roll vilka två nummer du multiplicerar först. I formelform ärassocierande egenskap för multiplikationser ut som
(a × b) c = a (b × c)
Till exempel (2 × 3) 4 förenklas till 6 × 4, vilket motsvarar 24. Om du grupperar 2 (3 × 4) kommer du att ha 2 × 12, och detta ger dig också 24.
Matematiska egenskaper: Transitiv och distribuerande
Deövergående egendomsäger att oma = bochb = c, dåa = c. Den här egenskapen används ofta i algebraisk ersättning. Till exempel,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {och} y = 3x + 4 \ text {, sedan} 4x - 2 = 3x + 4
Om du vet att dessa två värden är lika med varandra kan du lösa förx. När du väl vet detx, du kan lösa föryom nödvändigt.
Dedistribuerande egendomgör att du kan bli av med parenteser om det finns en term utanför dem, som 2 (x− 4). Parenteser i matematik indikerar multiplikation, och att distribuera något betyder att du släpper ut det. Så, för att använda den fördelande egenskapen för att eliminera parenteser, multiplicera termen utanför dem medvarjeterm inne i dem. Så du skulle multiplicera 2 ochxatt få 2x, och du skulle multiplicera 2 och −4 för att få −8. Förenklat ser det ut så här:
2 (x - 4) = 2x - 8
Formeln för distribuerande egendom är
a (b + c) = ab + ac
Du kan också använda fördelningsegenskapen för att dra ut en gemensam faktor från ett uttryck. Denna formel är
ab + ac = a (b + c)
Till exempel i uttrycket 3x+ 9, båda termerna är delbara med 3. Dra faktorn till parentesens utsida och låt resten ligga kvar: 3 (x + 3).
Egenskaper hos algebra för negativa siffror
Deadditiv invers egenskapsäger att om du lägger till ett nummer med dess inversa eller negativa version får du noll. Till exempel −5 + 5 = 0. I ett verkligt världsexempel, om du är skyldig någon $ 5 och sedan får $ 5, har du fortfarande inga pengar eftersom du måste ge $ 5 för att betala skulden. Formeln är
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Demultiplikativ invers egenskapsäger att om du multiplicerar ett tal med en bråkdel med en i täljaren och det numret i nämnaren får du en:
a × \ frac {1} {a} = 1
Om du multiplicerar 2 med 1/2 får du 2/2. Varje nummer över sig själv är alltid 1.
Negationsegenskaperdiktera multiplikation av negativa tal. Om du multiplicerar ett negativt och ett positivt tal blir ditt svar negativt:
(-a) (b) = -ab \ text {och} - (ab) = -ab
Om du multiplicerar två negativa tal blir ditt svar positivt:
- (- a) = a \ text {och} (-a) (- b) = ab
Om du har en negativ utanför parenteser är den negativa kopplad till en osynlig 1. Den −1 distribueras till varje term inom parentes. Formeln är
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Till exempel
- (x - 3) = -x + 3
för att multiplicera −1 och −3 ger dig 3.
Egenskaper för Zero
Detilläggsidentitetanger att om du lägger till något nummer och noll får du det ursprungliga numret:
a + 0 = a
Till exempel,
4 + 0 = 4
Demultiplikationsegenskap nollanger att när du multiplicerar ett tal med noll får du alltid noll:
a × 0 = 0
Till exempel
4 × 0 = 0
Användanoll produktegenskap,du kan säkert veta att om produkten med två siffror är noll, så är en av multiplarna noll. Formeln säger att
\ text {if} ab = 0 \ text {,}} a = 0 \ text {eller} b = 0
Egenskaper för Equalities
Egenskaper för likheter anger att vad du gör mot ena sidan av ekvationen, måste du göra mot den andra. Dedessutom egenskap av jämlikhetanger att om du har ett nummer på ena sidan måste du lägga till det på den andra. Till exempel,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {,}} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Desubtraktion egenskap av jämlikhetanger att om du subtraherar ett tal från ena sidan måste du subtrahera det från den andra sidan. Till exempel,
\ text {om} x + 2 = 2x - 3 \ text {, då} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Detta skulle ge dig
x + 1 = 2x - 4
ochxskulle vara lika med 5 i båda ekvationerna.
Demultiplikationsegenskap för jämlikhetanger att om du multiplicerar ett tal till en sida måste du multiplicera det med det andra. Med den här egenskapen kan du lösa divisionsekvationer. Till exempel om
\ frac {x} {4} = 2
multiplicera båda sidor med 4 för att fåx = 8.
Dedelning egendom av jämlikhetlåter dig lösa multipliceringsekvationer eftersom det du delar på ena sidan måste du dela på den andra. Dela till exempel
2x = 8
med 2 på båda sidor, ger efter
x = 4