Innan du börjar förenkla eller på annat sätt manipulera rationella uttryck, ta en stund att granska vad själva det rationella uttrycket är: En bråkdel med ett polynom i både täljaren och nämnaren. Eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, ett förhållande mellan ett polynom till ett annat. När du väl har identifierat ett rationellt uttryck kommer processen att förenkla det ner till tre steg.
Stegen för att förenkla rationella uttryck
Processen för att förenkla rationella funktioner följer en ganska enkel färdplan. Det första du måste göra är att kombinera liknande termer, om du inte redan har gjort det, för att hjälpa dig att se polynom tydligt.
Därefter faktor varje polynom. Ibland är allt du behöver göra att skriva ut varje termin. Det är till exempel klart att 4x (vilket faktiskt är ett polynom, även om det bara har en term) har två faktorer: 4 och x. Men med mer komplicerade polynomier är ditt bästa verktyg ofta att känna igen mönster för specifika typer av polynom som du redan har lärt dig om. Till exempel, om du har varit noga med dina formler, kanske du kommer ihåg att en polynom av formuläret
a2 - b2 faktorer ut till (a + b) (a - b).När dina polynom är helt inräknade, är det sista steget att avbryta alla vanliga faktorer som förekommer i både täljaren och nämnaren. Resultatet är ditt förenklade polynom.
Tips
Vad händer om polynomierna i ditt rationella uttryck inte är av en form som du vet hur du enkelt kan faktor? Det finns andra tekniker som du kan använda för att ta hänsyn till dem, som att fylla i kvadraten eller använda den kvadratiska formeln.
En varning om nämnaren
Du kanske inte blir förvånad över att höra att det finns en liten fångst här. Vanligtvis domänen (eller en uppsättning möjliga x värden) för ditt rationella uttryck antas vara uppsättningen av alla reella tal. Men om något händer för att göra nämnaren för din bråkdel noll, är resultatet en odefinierad bråkdel.
Vad skulle göra din nämnare noll? Vanligtvis behövs en liten undersökning för att ta reda på det. Till exempel om nämnaren av din fraktion har reducerats till faktorerna (x + 2) (x - 2), sedan värdet x = -2 skulle göra den första faktorn lika med noll, och x = 2 skulle göra den andra faktorn lika med noll.
Så båda dessa värden, -2 och 2, måste uteslutas från ditt rationella uttrycks domän. Du noterar vanligtvis detta med "inte lika" -tecknet eller ≠. Om du till exempel behöver utesluta -2 och 2 från domänen skulle du skriva x ≠ -2, 2.
Förenkla rationella uttryck: exempel
Nu när du förstår processen att förenkla rationella uttryck är det dags att titta på ett par exempel.
Exempel 1: Förenkla det rationella uttrycket (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Det finns inga liknande villkor att kombinera här, så du kan hoppa över det första steget. Därefter, med dina skarpa ögon och lite övning, kan du upptäcka att täljaren och nämnaren båda enkelt tas med i beräkningen:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Du kanske också kommer att upptäcka det (x + 2) är en faktor i både täljaren och nämnaren. När du har avbrutit den delade faktorn är du kvar med:
(x - 2) / (x + 2)
Du har förenklat ditt rationella uttryck så långt du kan, men det finns ytterligare en sak att göra: Identifiera alla "nollor" eller rötter som skulle resultera i en odefinierad bråkdel, så att du kan utesluta dem från domän. I det här fallet är det lätt att se genom undersökning att när x = -2, faktorn på botten är lika med noll. Så ditt förenklade rationella uttryck är faktiskt:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Exempel 2: Förenkla det rationella uttrycket x / (x2 - 4x)
Det finns inga liknande termer att kombinera, så du kan gå direkt till factoring genom undersökning. Det är inte så svårt att upptäcka att du kan faktorera en x ur bottenperioden, vilket ger dig:
x / x (x - 4)
Du kan avbryta x faktor från både täljare och nämnare, vilket ger dig:
1 / (x - 4)
Nu är ditt rationella uttryck förenklat, men du måste också notera något x värden som skulle resultera i en odefinierad bråkdel. I detta fall, x = 4 returnerar värdet noll i nämnaren. Så ditt svar är:
1 / (x - 4), x ≠ 4