Om du känner till två punkter som faller på en viss exponentiell kurva kan du definiera kurvan genom att lösa den allmänna exponentiella funktionen med hjälp av dessa punkter. I praktiken betyder detta att ersätta poängen för y och x i ekvationen y = abx. Proceduren är enklare om x-värdet för en av punkterna är 0, vilket innebär att punkten ligger på y-axeln. Om ingen av punkterna har ett noll x-värde är processen för att lösa för x och y lite mer komplicerad.
Varför exponentiella funktioner är viktiga
Många viktiga system följer exponentiella mönster för tillväxt och förfall. Till exempel ökar antalet bakterier i en koloni vanligtvis exponentiellt och omgivande strålning i atmosfären efter en kärnhändelse minskar vanligtvis exponentiellt. Genom att ta data och plotta en kurva har forskare bättre möjlighet att förutsäga.
Från ett par poäng till en graf
Varje punkt i en tvådimensionell graf kan representeras av två siffror, som vanligtvis skrivs i in formen (x, y), där x definierar det horisontella avståndet från ursprunget och y representerar det vertikala distans. Exempelvis är punkten (2, 3) två enheter till höger om y-axeln och tre enheter ovanför x-axeln. Å andra sidan är punkten (-2, -3) två enheter till vänster om y-axeln. och tre enheter under x-axeln.
Om du har två poäng, (x1, y1) och (x2, y2), kan du definiera den exponentiella funktionen som passerar genom dessa punkter genom att ersätta dem i ekvationen y = abx och lösa för a och b. I allmänhet måste du lösa detta ekvationspar:
y1 = abx1 och y2 = abx2, .
I den här formen ser matematiken lite komplicerad ut, men den ser mindre ut efter att du har gjort några exempel.
En punkt på X-axeln
Om ett av x-värdena - säg x1 - är 0, operationen blir väldigt enkel. Att lösa ekvationen för punkterna (0, 2) och (2, 4) ger till exempel:
2 = ab0 och 4 = ab2. Eftersom vi vet att b0 = 1, blir den första ekvationen 2 = a. Att ersätta a i den andra ekvationen ger 4 = 2b2, som vi förenklar till b2 = 2 eller b = kvadratrot av 2, vilket motsvarar ungefär 1,41. Den definierande funktionen är då y = 2 (1,41)x.
Varken peka på X-axeln
Om varken x-värdet är noll är det svårare att lösa paret av ekvationer. Henochmath går igenom ett enkelt exempel för att klargöra denna procedur. I sitt exempel valde han poängparet (2, 3) och (4, 27). Detta ger följande ekvationspar:
27 = ab4
3 = ab2
Om du delar den första ekvationen med den andra får du
9 = b2
så b = 3. Det är möjligt för b att också vara lika med -3, men i det här fallet antar att det är positivt.
Du kan ersätta detta värde med b i endera ekvationen för att få a. Det är lättare att använda den andra ekvationen, så:
3 = a (3)2 som kan förenklas till 3 = a9, a = 3/9 eller 1/3.
Ekvationen som passerar genom dessa punkter kan skrivas som y = 1/3 (3)x.
Ett exempel från den verkliga världen
Sedan 1910 har den mänskliga befolkningstillväxten varit exponentiell, och genom att planera en tillväxtkurva har forskare bättre möjlighet att förutsäga och planera för framtiden. År 1910 var världens befolkning 1,75 miljarder och 2010 var den 6,87 miljarder. Med utgångspunkt från 1910 ger detta poängparet (0, 1,75) och (100, 6,87). Eftersom x-värdet för den första punkten är noll kan vi enkelt hitta a.
1,75 = ab0 eller a = 1,75. Att koppla in detta värde, tillsammans med värdena i den andra punkten, i den allmänna exponentiella ekvationen ger 6,87 = 1,75b100, vilket ger värdet av b som den hundradels roten 6,87 / 1,75 eller 3,93. Så ekvationen blir y = 1,75 (hundradelen av 3,93)x. Även om det krävs mer än en bildregel för att göra det, kan forskare använda denna ekvation för att projicera framtida befolkningsantal för att hjälpa politiker i nuet att skapa lämplig politik.