Att lösa absolutvärdesjämlikheter är ungefär som att lösa absolutvärdesekvationer, men det finns ett par extra detaljer att tänka på. Det hjälper att redan vara bekväm med att lösa absolutvärdesekvationer, men det är okej om du också lär dig dem tillsammans!
Definition av absolut ojämlikhet i värden
Först och främst enojämlikhet i absolut värdeär en ojämlikhet som innebär ett absolut värdeuttryck. Till exempel,
| 5 + x | - 10> 6
är ett absolut ojämlikhetsvärde eftersom det har ett ojämlikhetstecken,> och ett absolut värdeuttryck, 5 +x |.
Hur man löser en absolut ojämlikhet i värden
Desteg för att lösa en absolut ojämlikhetär ungefär som stegen för att lösa en absolutvärdesekvation:
Steg 1:Isolera det absoluta värdeuttrycket på ena sidan av ojämlikheten.
Steg 2:Lös den positiva "versionen" av ojämlikheten.
Steg 3:Lös den negativa "versionen" av ojämlikheten genom att multiplicera kvantiteten på andra sidan ojämlikheten med −1 och vända på ojämlikhetstecknet.
Det är mycket att ta in samtidigt, så här är ett exempel som går igenom stegen.
Lös ojämlikheten förx:
| 5 + 5x | - 3> 2
För att göra detta, få | 5 + 5x| av sig själv på vänster sida av ojämlikheten. Allt du behöver göra är att lägga till 3 på varje sida:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nu finns det två "versioner" av ojämlikheten som vi behöver lösa: den positiva "versionen" och den negativa "versionen."
För detta steg antar vi att saker är som de ser ut: att 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Detta är en enkel ojämlikhet; du måste bara lösa förxsom vanligt. Subtrahera 5 från båda sidor och dela sedan båda sidor med 5.
\ börja {justerad} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5-5 \ quad \ text {(subtrahera fem från båda sidor)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(dela båda sidor med fem)} \\ & x> 0 \ slut {justerad}
Inte dåligt! Så en möjlig lösning på vår ojämlikhet är attx> 0. Nu, eftersom det är absoluta värden inblandade, är det dags att överväga en annan möjlighet.
För att förstå nästa bit hjälper det att komma ihåg vad absolut värde betyder.Absolutvärdemäter ett tal avstånd från noll. Avståndet är alltid positivt, så 9 är nio enheter från noll, men −9 är också nio enheter från noll.
Så | 9 | = 9, men | −9 | = 9 också.
Nu tillbaka till problemet ovan. Arbetet ovan visade att | 5 + 5x| > 5; med andra ord är det absoluta värdet av "något" större än fem. Nu kommer alla positiva tal större än fem att vara längre bort från noll än fem är. Så det första alternativet var att "något", 5 + 5x, är större än 5.
Det är:
5 + 5x> 5
Det är scenariot som tas upp ovan, i steg 2.
Tänk nu lite längre. Vad mer är fem enheter från noll? Tja, negativ fem är. Och allt längre längs talraden från negativ fem kommer att vara ännu längre bort från noll. Så vårt "något" kan vara ett negativt tal som ligger längre bort från noll än negativt fem. Det betyder att det skulle vara ett större ljud, men teknisktmindre ännegativ fem eftersom den rör sig i den negativa riktningen på talraden.
Så vårt "något", 5 + 5x, kan vara mindre än −5.
5 + 5x
Det snabba sättet att göra detta algebraiskt är att multiplicera kvantiteten på andra sidan av ojämlikheten, 5, med negativ och vänd sedan på ojämlikhetstecknet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Lös sedan som vanligt.
\ börja {justerad} & 5 + 5x
Så de två möjliga lösningarna på ojämlikheten ärx> 0 ellerx< −2. Kontrollera dig själv genom att ansluta några möjliga lösningar för att se till att ojämlikheten fortfarande gäller.
Ojämlikheter med absolut värde utan lösning
Det finns ett scenario där det skulle varainga lösningar på absolut ojämlikhet. Eftersom absoluta värden alltid är positiva kan de inte vara lika med eller mindre än negativa tal.
Så |x| ingen lösningeftersom resultatet av ett absolut värdeuttryck måste vara positivt.
Intervallnotation
Att skriva lösningen till vårt huvudexempel iintervallnotation, tänk på hur lösningen ser ut på sifferraden. Vår lösning varx> 0 ellerx< −2. På en talrad är det en öppen punkt vid 0, med en linje som sträcker sig ut till positiv oändlighet och en öppen punkt vid -2, med en linje som sträcker sig bort till negativ oändlighet. Dessa lösningar pekar bort från varandra, inte mot varandra, så ta varje bit separat.
För x> 0 på en talrad finns det en öppen punkt vid noll och sedan en linje som sträcker sig ut till oändlighet. I intervallnotering illustreras en öppen punkt med parenteser, () och en sluten punkt, eller ojämlikheter med ≥ eller ≤, skulle använda parenteser, []. Så förx> 0, skriv (0, ∞).
Den andra halvan,x
"Eller" i intervallnotation är unionstecknet, ∪.
Så lösningen i intervallnotation är
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)
