En binomial fördelning beskriver en variabel X om 1) finns ett fast nummer n observationer av variabeln; 2) alla observationer är oberoende av varandra; 3) sannolikheten för framgång sid är densamma för varje observation; och 4) varje observation representerar ett av exakt två möjliga resultat (därav ordet "binomial" - tänk "binärt"). Denna sista kvalificering skiljer binomialfördelningar från Poisson-distributioner, som varierar kontinuerligt snarare än diskret.
En sådan distribution kan skrivas B(n, sid).
Beräkning av sannolikheten för en given observation
Säg ett värde k ligger någonstans längs grafen för binomialfördelningen, som är symmetrisk om medelvärdet np. För att beräkna sannolikheten för att en observation kommer att ha detta värde måste denna ekvation lösas:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
var
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" betyder en faktorfunktion, t.ex. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Exempel
Anta att en basketspelare tar 24 frikast och har en etablerad framgångsgrad på 75 procent (
sid = 0.75). Vilka är chansen att hon kommer att träffa exakt 20 av sina 24 skott?Beräkna först (n: k) som följer:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Således
P (20) = 10,626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Denna spelare har därför 13,1 procents chans att göra exakt 20 av 24 fria kast, i linje med vad intuitionen kan föreslå om en spelare som vanligtvis skulle slå 18 av 24 frikast (på grund av hennes etablerade framgångsgrad på 75 procent).
