När du börjar med tre ekvationer och tre okända (variabler) kanske du tror att du har tillräckligt med information för att lösa för alla variabler. Men när du löser ett system med linjära ekvationer med hjälp av eliminationsmetoden kan du upptäcka att systemet är inte tillräckligt beslutsam för att hitta ett unikt svar, utan istället är det ett oändligt antal lösningar möjlig. Detta inträffar när informationen i en av ekvationerna i systemet är överflödig mot informationen i de andra ekvationerna.
Ett 2x2-exempel
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Detta ekvationssystem är tydligt överflödigt. Du kan skapa en ekvation från den andra genom att bara multiplicera med en konstant. Med andra ord förmedlar de samma information. Trots att det finns två ekvationer för de två okända, x och y, kan lösningen på detta system inte begränsas till ett värde för x och ett värde för y. (x, y) = (1,1) och (5 / 3,0) löser båda det, liksom många fler lösningar. Detta är den typ av "problem", denna brist på information, som leder till ett oändligt antal lösningar även i större ekvationssystem.
Ett 3x3-exempel
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Understreck används bara för att upprätthålla avståndet.] Genom elimineringsmetoden, eliminera x från andra raden genom att subtrahera den andra raden från den första och ge x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Eliminera x från den tredje raden genom att dra den tredje raden från den första. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 Uppenbarligen är de två sista ekvationerna ekvivalenta. y är lika med 5 och den första ekvationen kan förenklas genom att eliminera y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 eller x + z = 5 y = 5 Observera att eliminationsmetoden inte ger en fin triangulär form här, som det gör när det finns en unik lösning. I stället absorberas den sista ekvationen (om inte mer) i de andra ekvationerna. Systemet består nu av tre okända och endast två ekvationer. Systemet kallas "underbestämt" eftersom det inte finns tillräckligt med ekvationer för att bestämma värdet på alla variabler. Ett oändligt antal lösningar är möjliga.
Hur man skriver den oändliga lösningen
Den oändliga lösningen för ovanstående system kan skrivas i termer av en variabel. Ett sätt att skriva det är (x, y, z) = (x, 5,5-x). Eftersom x kan ta ett oändligt antal värden kan lösningen ta ett oändligt antal värden.
