Uppsättningen med verkliga siffror består av alla siffror på en talrad. Delmängder kan inkludera vilken samling som helst, men elementen i en viktig delmängd bör åtminstone ha flera egenskaper gemensamt. De flesta av dessa delmängder är bara användbara för specifika beräkningar, men det finns några som har intressanta egenskaper och som hjälper till att förstå hur det verkliga nummersystemet fungerar.
TL; DR (för lång; Läste inte)
De viktigaste delmängderna av uppsättningen av reella tal inkluderar rationella och irrationella siffror. Uppsättningen av rationella tal kan delas in i ytterligare underuppsättningar, inklusive de naturliga talen, heltal och heltal. Andra delmängder av de verkliga siffrorna är jämna och udda tal, primtal och perfekta siffror. Sammantaget finns det ett oändligt antal underuppsättningar av de verkliga siffrorna.
Delmängder med verkligt antal i allmänhet
För varje uppsättning som innehåller en mängd n-element är antalet underuppsättningar 2n. Uppsättningen av reella tal har ett oändligt antal element, och därför är motsvarande exponential av 2 också oändligt, vilket ger ett oändligt antal underuppsättningar.
Många av dessa delmängder kan användas när du arbetar med det verkliga nummersystemet och under beräkningar, men de är bara användbara för specifika ändamål. Till exempel, för att beräkna priset på flera pizzor till vänner, kan endast delmängden nummer från tio till hundra vara av intresse. En utomhustermometer kan bara visa undergruppen av temperaturer från minus 40 till plus 120 grader Fahrenheit. Att arbeta med delmängder som dessa är användbart eftersom alla resultat utanför den förväntade delmängden förmodligen är fel.
De mer generella delmängderna av reella tal klassificerar siffror efter deras egenskaper, och dessa delmängder har unika egenskaper som resultat. Det verkliga talsystemet utvecklades från delmängder som de naturliga tal som används för att räkna, och sådana delmängder utgör grunden för en förståelse av algebra.
Delmängder som utgör de verkliga siffrorna
Uppsättningen av reella tal består av de rationella och irrationella siffrorna. Rationella tal är heltal och tal som kan uttryckas som en bråkdel. Alla andra reella tal är irrationella och de inkluderar siffror som kvadratroten på 2 och talet pi. Eftersom irrationella tal definieras som en delmängd av reella tal måste alla irrationella tal vara reella tal.
Rationella nummer kan delas in i ytterligare delmängder. De naturliga siffrorna är tal som historiskt användes vid räkning, och de är sekvensen 1, 2, 3, etc. Hela siffrorna är de naturliga siffrorna plus noll. Heltals är heltal plus negativa naturliga tal.
Andra delmängder av de rationella siffrorna inkluderar sådana begrepp som jämna, udda, primtal och perfekta tal. Jämntal är heltal som har 2 som faktor; udda tal är alla andra heltal. Primtal är heltal som bara har sig själva och 1 som faktorer. Perfekta tal är heltal vars faktorer läggs till antalet. Det minsta perfekta talet är 6 och dess faktorer, 1, 2 och 3 summerar sig till 6.
I allmänhet ger beräkningar som utförs med reella tal svar på riktiga tal, men det finns ett undantag. Det finns inget reellt tal som, när det multipliceras med sig själv, ger ett negativt reellt tal som svar. Som ett resultat kan kvadratroten av ett negativt reellt tal inte vara ett reellt tal. Kvadratrötterna av negativa reella tal kallas imaginära tal, och de är elementen i en uppsättning siffror som är helt separerade från de verkliga siffrorna.
Studien av delmängderna av reella tal är en del av talteorin, och det klassificerar siffror för att göra det lättare att förstå hur talteori fungerar. Att bli bekant med verkliga antal underuppsättningar och deras egenskaper är en bra grund för ytterligare matematiska studier.