Få saker slår rädsla i början av algebrastudenten som att se exponenter - uttryck somy2, x3 eller till och med det skrämmandeyx- dyker upp i ekvationer. För att lösa ekvationen måste du på något sätt få dessa exponenter att försvinna. Men i sanning är den processen inte så svår när du lär dig en serie enkla strategier, varav de flesta är förankrade i de grundläggande aritmetiska operationerna du har använt i flera år.
Förenkla och kombinera liknande villkor
Ibland, om du har tur, kan du ha exponentvillkor i en ekvation som avbryter varandra. Tänk till exempel på följande ekvation:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2 (x ^ 2 + 2)
Med ett skarpt öga och lite övning kan du upptäcka att exponentvillkoren faktiskt avbryter varandra, alltså:
När du har förenklat höger sida av provekvationen ser du att du har identiska exponenttermer på båda sidor om likhetstecknet:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2x ^ 2 + 4
Subtrahera 2x2 från båda sidor av ekvationen. Eftersom du utförde samma operation på båda sidor av ekvationen har du inte ändrat dess värde. Men du har effektivt tagit bort exponenten och lämnat dig med:
y - 5 = 4
Om så önskas kan du avsluta ekvationen förygenom att lägga till 5 på båda sidor av ekvationen, vilket ger dig:
y = 9
Ofta är problem inte så enkla, men det är fortfarande en möjlighet som är värt att se upp för.
Leta efter möjligheter att ta hänsyn till
Med tid, övning och massor av matematikklasser samlar du formler för att ta hänsyn till vissa typer av polynom. Det är ungefär som att samla in verktyg som du förvarar i en verktygslåda tills du behöver dem. Tricket är att lära sig att identifiera vilka polynom som lätt kan tas med i beräkningen. Här är några av de vanligaste formlerna du kan använda, med exempel på hur du använder dem:
Om din ekvation innehåller två kvadratiska siffror med ett minustecken mellan dem - till exempelx2 − 42 - du kan faktorera dem med formelna2 − b2 = (a + b) (a - b). Om du tillämpar formeln på exemplet, polynometx2 − 42 faktorer till (x + 4)(x − 4).
Tricket här är att lära sig känna igen kvadratiska siffror även om de inte är skrivna som exponenter. Till exempel exemplet medx2 − 42 är mer benägna att skrivas somx2 − 16.
Om din ekvation innehåller två kuberade siffror som läggs ihop kan du faktorera dem med formeln
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Tänk på exemplet medy3 + 23, som du är mer benägna att se skrivna somy3 + 8. När du ersätteryoch 2 i formeln föraochbdu har:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Uppenbarligen är inte exponenten helt borta, men ibland är denna typ av formel ett användbart, mellanliggande steg mot att bli av med den. Till exempel, fakturering sålunda i täljaren av en bråk kan skapa termer som du sedan kan avbryta med termer från nämnaren.
Om din ekvation innehåller två kuberade siffror med ensubtraherasfrån den andra kan du faktorera dem med en formel som liknar den som visas i föregående exempel. Faktum är att minustecknet är den enda skillnaden mellan dem, eftersom formeln för kubskillnaden är:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Tänk på exemplet medx3 − 53, som mer sannolikt skulle skrivas somx3 − 125. Ersätterxföraoch 5 förb, du får:
(x - 5) (x ^ 2 + 5x + 5 ^ 2)
Som tidigare, även om detta inte eliminerar exponenten helt, kan det vara ett användbart mellansteg på vägen.
Isolera och applicera en radikal
Om inget av ovanstående tricks fungerar och du bara har en term som innehåller en exponent kan du använda den vanligaste metoden för att "bli av av "exponenten: Isolera exponenttermen på ena sidan av ekvationen, och applicera sedan lämplig radikal på båda sidor av ekvation. Tänk på exemplet med
z ^ 3 - 25 = 2
Isolera exponenttermen genom att lägga till 25 på båda sidor av ekvationen. Detta ger dig:
z ^ 3 = 27
Indexet för roten du tillämpar - det vill säga det lilla överteckningsnumret före radikaltecknet - bör vara detsamma som exponenten du försöker ta bort. Så eftersom exponenttermen i exemplet är en kub eller tredje effekt måste du använda en kubrot eller tredje rot för att ta bort den. Detta ger dig:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Vilket i sin tur förenklar till:
z = 3
