Hur man löser kubiska ekvationer

Att lösa polynomfunktioner är en nyckelfärdighet för alla som studerar matematik eller fysik, men att ta hand om processen - särskilt när det gäller funktioner av högre ordning - kan vara ganska utmanande. En kubisk funktion är en av de mest utmanande typerna av polynomekvationer du kan behöva lösa för hand. Även om det kanske inte är lika enkelt som att lösa en kvadratisk ekvation, finns det ett par metoder du kan använda för att hitta lösningen på en kubisk ekvation utan att använda sidor och detaljerade sidor algebra.

En kubisk funktion är ett tredje graders polynom. En allmän polynomfunktion har formen:

Här, x är variabeln, n är helt enkelt valfritt tal (och graden av polynom), k är en konstant och de andra bokstäverna är konstanta koefficienter för varje effekt av x. Så en kubisk funktion har n = 3, och är helt enkelt:

Var i detta fall, d är konstanten. Generellt sett, när du måste lösa en kubisk ekvation, får du den i form:

Varje lösning för x kallas en "rot" av ekvationen. Kubiska ekvationer har antingen en riktig rot eller tre, även om de kan upprepas, men det finns alltid minst en lösning.

Typen av ekvation definieras av den högsta effekten, så i exemplet ovan skulle det inte vara en kubisk ekvation om a = 0, eftersom den högsta maktperioden skulle vara bx² och det skulle vara en kvadratisk ekvation. Detta betyder att följande är alla kubiska ekvationer:

Det enklaste sättet att lösa en kubisk ekvation innebär lite gissningar och en algoritmisk typ av process som kallas syntetisk division. Starten är dock i princip densamma som försök och felmetoden för kubiska ekvationslösningar. Försök ta reda på vad en av rötterna är genom att gissa. Om du har en ekvation där den första koefficienten, a, är lika med 1, då är det lite lättare att gissa en av rötterna, eftersom de alltid är faktorer för den konstanta termen som representeras ovan av d.

Så titta på följande ekvation, till exempel:

Du måste gissa ett av värdena för x, men eftersom a = 1 i det här fallet vet du att oavsett värdet måste det vara en faktor 24. Den första faktorn är 1, men detta skulle lämna:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Vilket inte är noll, och −1 skulle lämna:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Vilket är återigen inte noll. Nästa, x = 2 skulle ge:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

En annan misslyckande. Påfrestande x = −2 ger:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Detta betyder x = −2 är en rot till den kubiska ekvationen. Detta visar fördelarna och nackdelarna med försök och felmetoden: Du kan få svaret utan mycket tanke, men det är tidskrävande (speciellt om du måste gå till högre faktorer innan du hittar en rot). Lyckligtvis, när du har hittat en rot kan du enkelt lösa resten av ekvationen.

Nyckeln är att införliva faktorteoremet. Detta säger att om x = s är en lösning, sedan (x – s) är en faktor som kan dras ut ur ekvationen. För denna situation, s = −2, och så (x + 2) är en faktor som vi kan dra ut för att lämna:

Termerna i den andra gruppen inom parentes har formen av en kvadratisk ekvation, så om du hittar lämpliga värden för a och b, ekvationen kan lösas.

Detta kan åstadkommas med syntetisk uppdelning. Skriv först ner koefficienterna för den ursprungliga ekvationen på den översta raden i en tabell, med en delningslinje och sedan den kända roten till höger:

Lämna en reservrad och lägg sedan till en horisontell linje under den. Ta först det första numret (1 i det här fallet) ner till raden under din horisontella linje

Multiplicera nu numret du just har tagit ner med den kända roten. I det här fallet är 1 × −2 = −2, och detta skrivs under nästa nummer i listan, enligt följande:

Lägg sedan till siffrorna i den andra kolumnen och lägg resultatet under den horisontella linjen:

Upprepa nu processen du just har gått igenom med det nya numret under den horisontella linjen: Multiplicera med root, placera svaret i det tomma utrymmet i nästa kolumn och lägg sedan till kolumnen för att få ett nytt nummer på nedersta raden. Detta lämnar:

Och sedan gå igenom processen en sista gång.

Det faktum att det sista svaret är noll säger att du har en giltig root, så om det inte är noll, har du gjort ett misstag någonstans.

Nu visar den nedre raden faktorerna för de tre termerna i den andra uppsättningen parenteser, så att du kan skriva:

Och så:

Detta är det viktigaste steget i lösningen och du kan avsluta från och med den här tiden på många sätt.

När du har tagit bort en faktor kan du hitta en lösning med faktorisering. Från steget ovan är detta i princip samma problem som att ta med en kvadratisk ekvation, vilket i vissa fall kan vara utmanande. Men för uttrycket:

Om du kommer ihåg att de två siffrorna du placerar inom parentes måste läggas till för att ge den andra koefficienten (7) och multiplicera för att ge den tredje (12), är det ganska lätt att se det i det här fallet:

Du kan multiplicera detta för att kontrollera, om du vill. Känn dig inte avskräckt om du inte kan se faktoriseringen direkt; det tar lite övning. Detta lämnar den ursprungliga ekvationen som:

Som du omedelbart kan se har lösningar på x = −2, 3 och 4 (som alla är faktorer 24, den ursprungliga konstanten). I teorin kan det också vara möjligt att se hela faktoriseringen från den ursprungliga versionen av ekvationen, men det här är mycket mer utmanande, så det är bättre att hitta en lösning från försök och fel och använda metoden ovan innan du försöker hitta en faktorisering.

Om du kämpar för att se faktoriseringen kan du använda den kvadratiska ekvationsformeln:

För att hitta de återstående lösningarna.

Även om det är mycket större och mindre enkelt att hantera, finns det en enkel kubisk ekvationslösare i form av den kubiska formeln. Detta är som den kvadratiska ekvationsformeln genom att du bara matar in dina värden på a, b, c och d för att få en lösning, men är bara mycket längre.

Den säger att:

var

och

Att använda den här formeln är tidskrävande, men om du inte vill använda test- och felmetoden för kubiska ekvationslösningar och sedan den kvadratiske formeln fungerar det när du går igenom allt.