Algebra innebär ofta att förenkla uttryck, men vissa uttryck är mer förvirrande att hantera än andra. Komplexa nummer involverar den mängd som kallasi, ett "imaginärt" nummer med fastigheteni= √−1. Om du bara behöver ett uttryck med ett komplext tal kan det verka skrämmande, men det är en ganska enkel process när du lär dig de grundläggande reglerna.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Förenkla komplexa nummer genom att följa reglerna för algebra med komplexa nummer.
Vad är ett komplext nummer?
Komplexa nummer definieras av deras inkludering aviterm, som är kvadratroten av minus en. I matematik på grundnivå finns det inte riktigt kvadratrötter med negativa tal, men de dyker ibland upp i algebra-problem. Den allmänna formen för ett komplext antal visar deras struktur:
z = a + bi
Varzmärker det komplexa numret,arepresenterar valfritt nummer (kallas den "riktiga" delen) ochbrepresenterar ett annat nummer (kallad den "imaginära" delen), som båda kan vara positiva eller negativa. Så ett exempel på ett komplext antal är:
z = 2 −4i
Eftersom alla kvadratrötter med negativa tal kan representeras av multiplar avi, detta är formen för alla komplexa tal. Tekniskt beskriver ett vanligt nummer bara ett specialfall av ett komplext nummer därb= 0, så alla siffror kan betraktas som komplexa.
Grundläggande regler för algebra med komplexa nummer
För att lägga till och subtrahera komplexa tal, lägg bara till eller subtrahera de verkliga och imaginära delarna separat. Så för komplexa nummerz = 2 – 4iochw = 3 + 5i, summan är:
\ börja {justeras} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + jag \ slut {justerad}
Att subtrahera siffrorna fungerar på samma sätt:
\ börja {justerad} z- w & = (2-4i) - (3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ slut {justerad }
Multiplikation är en annan enkel operation med komplexa tal, eftersom den fungerar som vanlig multiplikation förutom att du måste komma ihåg deti2 = −1. Så för att beräkna 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Men eftersomi2= −1, sedan:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Med hela komplexa nummer (medz = 2 – 4iochw = 3 + 5iigen), multiplicerar du dem på samma sätt som med vanliga siffror som (a + b) (c + d) med "första, inre, yttre, sista" (FOIL) -metoden för att ge (a + b) (c + d) = ac + före Kristus + annons + bd. Allt du behöver komma ihåg är att förenkla alla fall avi2. Så till exempel:
\ begin {inriktad} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {aligned}
Dela komplexa nummer
Att dela komplexa tal innebär att multiplicera täljaren och nämnaren för bråkdelen med det komplexa konjugatet av nämnaren. Det komplexa konjugatet betyder bara versionen av det komplexa numret med den imaginära delen omvänd i tecken. Så förz = 2 – 4i, det komplexa konjugatetz = 2 + 4i, och förw = 3 + 5i, w = 3 −5i. För problemet:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Det konjugat som behövs ärw*. Dela täljaren och nämnaren med detta för att ge:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Och sedan jobbar du igenom som i föregående avsnitt. Täljaren ger:
\ börja {justerad} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ slut {justerad}
Och nämnaren ger:
\ börja {justerad} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ slut {justerad}
Detta betyder:
\ börja {linje} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {align}
Förenkla komplexa nummer
Använd reglerna ovan efter behov för att förenkla komplexa uttryck. Till exempel:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Detta kan förenklas genom att använda tilläggsregeln i täljaren, multiplikationsregeln i nämnaren och sedan slutföra uppdelningen. För täljaren:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
För nämnaren:
\ börja {inriktad} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ slut {justerad}
Att sätta tillbaka dessa på plats ger:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Att multiplicera båda delarna med nämnarens konjugat leder till:
\ begin {align} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2-6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ slut {justerad}
Så det betyderzförenklas enligt följande:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {aligned}