Den som någonsin har spelat en omgång pool känner till lagen om bevarande av fart, oavsett om de inser det eller inte.
Lagen om bevarande av momentum är grundläggande för att förstå och förutsäga vad som händer när objekt interagerar eller kolliderar. Denna lag förutspår biljardbollarnas rörelser och är det som avgör om den åtta bollen kommer in i hörnfickan eller inte.
Vad är Momentum?
Momentum definieras som produkten av ett objekts massa och hastighet. I form av ekvation skrivs detta ofta somp = mv.
Det är en vektormängd, vilket betyder att den har en riktning associerad med den. Riktningen för ett objekts momentvektor är samma riktning som dess hastighetsvektor.
Momentet för ett isolerat system är summan av momentan för varje enskilt objekt i det systemet. Ett isolerat system är ett system av interagerande objekt som inte interagerar på något sätt med något annat. Med andra ord finns det ingen extern extern kraft som verkar på systemet.
Att studera total fart i ett isolerat system är viktigt eftersom det gör att du kan förutsäga vad som kommer att hända med objekten i systemet under kollisioner och interaktioner.
Vad är bevarande lagar?
Innan vi inleder en förståelse av lagen om bevarande av momentum är det viktigt att förstå vad som menas med en "bevarad kvantitet."
Att spara något innebär att på något sätt förhindra slöseri eller förlust av det. I fysik sägs en kvantitet bevaras om den förblir konstant. Du kanske har hört uttrycket när det gäller bevarande av energi, vilket är tanken att energi varken kan skapas eller förstöras, utan bara förändrar form. Därför förblir den totala mängden av den konstant.
När vi pratar om bevarande av momentum, talar vi om den totala mängden momentum som förblir konstant. Detta momentum kan överföras från ett objekt till ett annat inom ett isolerat system och fortfarande betraktas som konserverat om den totala drivkraften i det systemet inte ändras.
Newtons andra rörelselag och lagen om bevarande av momentum
Lagen om bevarande av momentum kan härledas från Newtons andra rörelselag. Minns att denna lag relaterade nettokraft, massa och acceleration av ett objekt somFnetto = ma.
Tricket här är att tänka på denna nettokraft som verkar på ett system som helhet. Lagen om bevarande av momentum gäller när nettokraften på systemet är 0. Detta betyder att de enda krafterna som kan utövas på det för varje objekt i systemet måste komma från andra objekt i systemet, eller annars avbrytas på något sätt.
Yttre krafter kan vara friktion, tyngdkraft eller luftmotstånd. Dessa måste antingen inte agera, eller så måste de motverkas för att göra nettokraften på systemet 0.
Du kan börja härledningen med uttalandetFnetto = ma = 0.
Demi detta fall är hela systemets massa. Acceleration i fråga är systemets nettoacceleration, som hänvisar till accelerationen av systemets masscentrum (masscentrum är det genomsnittliga läget för det totala systemet massa.)
För att nettokraften ska vara 0 måste accelerationen också vara 0. Eftersom acceleration är hastighetsförändringen över tiden innebär detta att hastigheten inte får förändras. Med andra ord är hastigheten konstant. Därför får vi påståendet attmvcentimeter= konstant.
Varvcentimeterär massacentrets hastighet, given med formeln:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Så nu minskar uttalandet till:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {konstant}
Detta är ekvationen som beskriver bevarandet av momentum. Varje term är momentum för ett av objekten i systemet, och summan av alla momenta måste vara konstant. Ett annat sätt att uttrycka detta är genom att säga:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Där prenumerationenirefererar initialvärden ochftill slutvärden, som vanligtvis förekommer före och sedan efter någon form av interaktion, till exempel en kollision mellan objekt i ett system.
Elastiska och oelastiska kollisioner
Anledningen till att lagen för bevarande av momentum är viktig är att den kan göra det möjligt för dig att lösa ett okänd sluthastighet eller liknande för objekt i ett isolerat system som kan kollidera med var och en Övrig.
Det finns två huvudsakliga sätt på vilka en sådan kollision kan inträffa: elastiskt eller oelastiskt.
En perfekt elastisk kollision är en där kolliderande föremål studsar av varandra. Denna typ av kollision kännetecknas av bevarande av kinetisk energi. Ett objekts kinetiska energi ges med formeln:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Om kinetisk energi bevaras måste summan av kinetiska energierna för alla objekt i systemet förbli konstanta både före och efter kollisioner. Genom att använda bevarande av kinetisk energi tillsammans med bevarande av momentum kan du lösa mer än en slutlig eller initial hastighet i ett kolliderande system.
En perfekt oelastisk kollision är en där när två föremål kolliderar, hänger fast vid varandra och rör sig som en enda massa efteråt. Detta kan också förenkla ett problem eftersom du bara behöver bestämma en sluthastighet istället för två.
Medan momentum bevaras i båda typerna av kollisioner bevaras kinetisk energi endast i en elastisk kollision. De flesta verkliga kollisioner är varken perfekt elastiska eller helt oelastiska utan ligger någonstans däremellan.
Bevarande av vinkelmoment
Vad som beskrivs i föregående avsnitt är bevarande av linjär fart. Det finns en annan typ av momentum som gäller för rotationsrörelse som kallas vinkelmoment.
Precis som med linjärt moment bevaras också vinkelmoment. Vinkelmoment beror på ett objekts massa och hur långt massan är från en rotationsaxel.
När en konståkare snurrar ser du dem rotera snabbare när de tar armarna närmare kroppen. Detta beror på att deras vinkelmoment bara bevaras om deras rotationshastighet ökar i proportion till hur nära de tar armarna till sitt centrum.
Exempel på problem med bevarande av momentum
Exempel 1:Två biljardbollar med lika massa rullar mot varandra. Den ena kör med en initialhastighet på 2 m / s och den andra med en hastighet på 4 m / s. Om deras kollision är helt elastisk, vad är sluthastigheten för varje boll?
Lösning 1:När du löser detta problem är det viktigt att välja ett koordinatsystem. Eftersom allt händer i en rak linje kan du bestämma att rörelse till höger är positiv och rörelse till vänster är negativ. Antag att den första bollen reser till höger vid 2m / s. Den andra kulans hastighet är då -4m / s.
Skriv ett uttryck för systemets totala momentum före kollisionen, liksom systemets totala kinetiska energi före kollisionen:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Plugga in värden för att få ett uttryck för varje:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 m
Observera att eftersom du inte fick värden för massorna förblir de okända, även om båda massorna var desamma, vilket möjliggjorde en viss förenkling.
Efter kollisionen är uttrycken för momentum och kinetisk energi:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Genom att ställa in de initiala värdena som är lika med de slutliga värdena för varje, kan du avbryta massorna. Du har sedan ett system med två ekvationer och två okända kvantiteter:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ innebär v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ innebär v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Att lösa systemet algebraiskt ger följande lösningar:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Du kommer att notera att eftersom de två bollarna hade samma massa utbytte de i huvudsak hastigheter.
Exempel 2:En bil på 1 200 kg som kör österut med 20 mil i timmen kolliderar frontalt med en 3 000 kg lastbil som kör västerut med 15 mil i timmen. De två bilarna håller ihop när de kolliderar. Med vilken sluthastighet rör sig de?
Lösning 2:En sak att notera om just detta problem är enheterna. SI-enheterna för momentum är kg⋅m / s. Du får dock massa i kg och hastigheter i miles per timme. Observera att så länge alla hastigheter är i enhetliga enheter finns det inget behov av konvertering. När du löser sluthastigheten kommer ditt svar att vara i miles per timme.
Systemets initiala momentum kan uttryckas som:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ gånger 20 - 3000 \ gånger 15 = -21.000 \ text {kg} \ gånger \ text {mph}
Systemets slutmoment kan uttryckas som:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Lagen om bevarande av momentum säger att dessa initiala och slutliga värden ska vara lika. Du kan lösa sluthastigheten genom att ställa in initialmomentet lika med slutmomentet och lösa sluthastigheten enligt följande:
4200v_f = -21,000 \ innebär v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Exempel 3:Visa att kinetisk energi inte sparades i den föregående frågan om den oelastiska kollisionen mellan bilen och lastbilen.
Lösning 3:Systemets ursprungliga kinetiska energi var:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557.500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Systemets slutliga kinetiska energi var:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52 500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Eftersom den initiala totala kinetiska energin och den totala slutliga kinetiska energin inte är lika, kan du dra slutsatsen att kinetisk energi inte bevarades.