Rotations kinetisk energibeskriver den rörelseenergi som härrör från ett objekts rotation eller cirkelrörelse. Minnas detlinjär kinetisk energiav en massamrör sig med fartvges av 1 / 2mv2. Detta är en enkel beräkning för varje objekt som rör sig i en rak linje. Det gäller objektets masscentrum, så att objektet kan approximeras som en punktmassa.
Om vi nu vill beskriva den kinetiska energin för ett förlängt objekt som genomgår mer komplex rörelse blir beräkningen svårare.
Vi kan göra approximationer efter varandra genom att bryta upp det förlängda föremålet i små bitar, var och en kan approximeras som en punktmassa och beräkna sedan den linjära kinetiska energin för varje punktmassa separat och lägg till dem alla för att hitta summan för objekt. Ju mindre vi bryter upp objektet, desto bättre är approximationen. I gränsen där bitarna blir oändliga, kan detta göras med kalkyl.
Men vi har tur! När det gäller rotationsrörelser finns det en förenkling. För ett roterande objekt, om vi beskriver dess massfördelning kring rotationsaxeln i termer av dess tröghetsmoment,
Jagkan vi sedan använda en enkel rotations kinetisk energiekvation, som diskuteras senare i denna artikel.Tröghetsmoment
Tröghetsmomentär ett mått på hur svårt det är att få ett objekt att ändra sin rotationsrörelse kring en viss axel. Tröghetsmomentet för ett roterande objekt beror inte bara på objektets massa utan också på hur massan fördelas kring rotationsaxeln. Ju längre bort från axeln som massan fördelas, desto svårare är det att ändra sin rotationsrörelse och därmed ju större tröghetsmoment.
SI-enheterna för tröghetsmoment är kgm2 (vilket överensstämmer med vår uppfattning att det beror på massa och på avståndet från rotationsaxeln). Tröghetsmomenten för olika föremål kan hittas i en tabell eller från kalkyl.
Tips
Tröghetsmomentet för något objekt kan hittas med hjälp av kalkyl och formeln för tröghetsmomentet för en punktmassa.
Rotation Kinetic Energy Equation
Formeln för kinetisk rotationsenergi ges av:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
VarJagär objektets tröghetsmoment ochωär objektets vinkelhastighet i radianer per sekund (rad / s). SI-enheten för roterande kinetisk energi är joule (J).
Formen för den roterande kinetiska energiformeln är analog med translationell kinetisk energiekvation; tröghetsmoment spelar rollen som massa och vinkelhastigheten ersätter linjär hastighet. Observera att den kinetiska rotationsekvationen ger samma resultat för en punktmassa som den linjära ekvationen gör.
Om vi föreställer oss en punktmassamrör sig i en cirkel av radiermed hastighetv, då är dess vinkelhastighet ω = v / r och dess tröghetsmoment är mr2. Båda kinetiska energiekvationerna ger samma resultat, som förväntat:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ avbryt {r ^ 2} v ^ 2} {\ avbryt {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Om ett föremål både roterar och dess masscentrum rör sig längs en rak linje (som till exempel händer med ett rullande däck),total kinetisk energiär summan av den roterande kinetiska energin och den translationella kinetiska energin:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Exempel på Rotation Kinetic Energy Formula
Rotations kinetisk energiformel har många tillämpningar. Den kan användas för att beräkna den enkla kinetiska energin för ett snurrande objekt, för att beräkna den kinetiska energin för ett rullande föremål (ett objekt som genomgår både rotations- och translationell rörelse) och att lösa för andra okända. Tänk på följande tre exempel:
Exempel 1:Jorden snurrar runt sin axel ungefär var 24: e timme. Om vi antar att den har en enhetlig densitet, vad är dess kinetiska rotationsenergi? (Jordens radie är 6,37 × 106 m, och dess massa är 5,97 × 1024 kg.)
För att hitta den roterande kinetiska energin måste vi först hitta tröghetsmomentet. Genom att approximera jorden som en fast sfär får vi:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
Vinkelhastigheten är 2π radianer / dag. Omvandling av detta till rad / s ger:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ avbryt {\ text {dag}}} \ frac {1 \ avbryt {\ text {dag}}} {86400 \ text {sekunder}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Så den roterande kinetiska energin på jorden är då:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ gånger 10 ^ {29} \ text {J}
Roligt faktum: Detta är mer än tio gånger den totala energin solen lägger ut på en minut!
Exempel 2:En jämn cylinder med en massa på 0,75 kg och en radie på 0,1 m rullar över golvet med en konstant hastighet på 4 m / s. Vad är dess kinetiska energi?
Den totala kinetiska energin ges av:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
I det här fallet är jag = 1/2 mr2 är tröghetsmomentet för en solid cylinder, ochωär relaterad till linjär hastighet via ω = v / r.
Att förenkla uttrycket för total kinetisk energi och ansluta värden ger:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Observera att vi inte ens behövde använda radien! Det avbröts på grund av det direkta sambandet mellan rotationshastighet och linjär hastighet.
Exempel 3:En student på en cykel sträcker sig nerför en kulle från vila. Om den vertikala höjden på kullen är 30 m, hur snabbt går eleven längst ner på kullen? Antag att cykeln väger 8 kg, föraren väger 50 kg, varje hjul väger 2,2 kg (ingår i cykelvikten) och varje hjul har en diameter på 0,7 m. Ungefärliga hjul som ringar och antar att friktionen är försumbar.
Här kan vi använda mekanisk energibesparing för att hitta sluthastigheten. Den potentiella energin på toppen av backen förvandlas till kinetisk energi längst ner. Den kinetiska energin är summan av translationell kinetisk energi för hela personen + cykelsystemet och de roterande kinetiska energierna för däcken.
Systemets totala energi:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17 052 \ sms {J}
Formeln för total energi i termer av kinetiska energier längst ner på backen är:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {däck} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ gånger m_ {däck} \ gånger r_ {däck} ^ 2) (v / r_ {däck}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {däck} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {däck} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Lösa förvger:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {däck} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Slutligen, när vi kopplar in siffror får vi vårt svar:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}