Integreringsfunktioner är en av kärnapplikationerna i kalkylen. Ibland är detta enkelt, som i:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
I ett relativt komplicerat exempel av denna typ kan du använda en version av grundformeln för att integrera obestämda integraler:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
varAochCär konstanter.
Således för detta exempel,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C.
Integrering av grundläggande fyrkantiga rotfunktioner
På ytan är det svårt att integrera en kvadratrotfunktion. Till exempel kan du bli stymied av:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Men du kan uttrycka en kvadratrot som en exponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integralen blir därför:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
som du kan använda den vanliga formeln från ovan:
\ börja {justerad} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {align}
Integration av mer komplexa fyrkantiga rotfunktioner
Ibland kan du ha mer än en term under det radikala tecknet, som i detta exempel:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Du kan användau-byte för att fortsätta. Här ställer du inulika med kvantiteten i nämnaren:
u = \ sqrt {x - 3}
Lös detta förxgenom att kvadrera båda sidor och subtrahera:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Detta gör att du kan få dx när det gällerugenom att ta derivatet avx:
dx = (2u) du
Att byta tillbaka till den ursprungliga integralen ger
\ börja {justerad} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {align}
Nu kan du integrera detta med grundformeln och uttryckaui form avx:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ slut {justerad}