Hur man hittar vertikala och horisontella asymptoter

När de uttrycks i en graf är vissa funktioner kontinuerliga från negativ oändlighet till positiv oändlighet. Detta är dock inte alltid fallet: andra funktioner bryts vid en punkt av diskontinuitet, eller stängs av och kommer aldrig förbi en viss punkt i diagrammet. Vertikala och horisontella asymptoter är raka linjer som definierar det värde som en given funktion närmar sig om den inte sträcker sig till oändlighet i motsatta riktningar. Horisontella asymptoter följer alltid formeln y = C, medan vertikala asymptoter alltid följer samma formel x = C, där värdet C representerar vilken konstant som helst. Att hitta asymptoter, oavsett om dessa asymptoter är horisontella eller vertikala, är en lätt uppgift om du följer några steg.

För att hitta en vertikal asymptot, skriv först den funktion du vill bestämma asymptoten för. Troligtvis kommer denna funktion att vara en rationell funktion, där variabeln x ingår någonstans i nämnaren. Som regel, när nämnaren för en rationell funktion närmar sig noll, har den en vertikal asymptot. När du har skrivit ut din funktion, hitta värdet på x som gör nämnaren lika med noll. Som ett exempel, om funktionen du arbetar med är y = 1 / (x + 2), skulle du lösa ekvationen x + 2 = 0, en ekvation som har svaret x = -2. Det kan finnas mer än en möjlig lösning för mer komplexa funktioner.

När du har hittat x-värdet för din funktion, ta gränsen för funktionen när x närmar sig värdet du hittade från båda riktningarna. För detta exempel när x närmar sig -2 från vänster närmar sig y negativ oändlighet; när -2 närmar sig från höger, närmar sig y positiv oändlighet. Detta betyder att grafen för funktionen delas vid diskontinuiteten, hoppar från negativ oändlighet till positiv oändlighet. Om du arbetar med en mer komplex funktion som har mer än en möjlig lösning, måste du ta gränsen för varje möjlig lösning. Skriv slutligen ekvationerna för funktionens vertikala asymptoter genom att ställa in x lika med var och en av värdena som används i gränserna. För detta exempel finns det bara en asymptot: ges av ekvationen är den vertikala asymptoten lika med x = -2.

Medan horisontella asymptotregler kan skilja sig något från vertikala asymptoter, är processen för att hitta horisontella asymptoter lika enkel som att hitta vertikala. Börja med att skriva ut din funktion. Horisontella asymptoter finns i en mängd olika funktioner, men de återfinns troligen i rationella funktioner. För detta exempel är funktionen y = x / (x-1). Ta gränsen för funktionen när x närmar sig oändligheten. I detta exempel kan "1" ignoreras eftersom den blir obetydlig när x närmar sig oändligheten (eftersom oändligheten minus 1 fortfarande är oändligheten). Så funktionen blir x / x, vilket är lika med 1. Därför är gränsen när x närmar sig oändligheten av x / (x-1) lika med 1.

Använd gränslösningen för att skriva din asymptotekvation. Om lösningen är ett fast värde finns det en horisontell asymptot, men om lösningen är oändlig finns det ingen horisontell asymptot. Om lösningen är en annan funktion finns det en asymptot, men den är varken horisontell eller vertikal. För detta exempel är den horisontella asymptoten y = 1.

När du hanterar problem med trigonometriska funktioner som har asymptoter, oroa dig inte: att hitta asymptoter för dessa funktioner är som enkelt som att följa samma steg som du använder för att hitta de horisontella och vertikala asymptoterna för rationella funktioner, med hjälp av de olika gränser. Men när man försöker detta är det viktigt att inse att trig-funktioner är cykliska och som ett resultat kan ha många asymptoter.