A prisma kan vara ett elegant dekorativt föremål, ett verktyg i fysik eller bara en lockande geometrisk konstruktion som också råkar vara användbar. Det mänskliga ögat och sinnet har ett yen för symmetri i konsten och i naturen, och de finner attraktionskraft i tredimensionella former som är regelbundna, mångfacetterade och överför såväl som reflekterar ljus.
Objekt med en massa av sidor - till exempel en dodekaeder, som har 12 identiska femsidiga ansikten som utgör dess yta - är roliga att titta på, men den matematik som ligger bakom deras geometri kan i bästa fall vara tråkig.
Ett femsidigt (det vill säga femkantigt) prisma är en användbar utgångspunkt för studenter som försöker lära sig hur man beräknar volymerna av polyhedroner, av vilka prismer är en av många vanliga typer och ett oändligt antal teoretiska typer.
The World of Polyhedra
"Polyhedra" låter kanske som ett monster från den grekiska mytologins värld. Faktum är att den "grekiska" delen av det är korrekt: Ordet polyeder (singularis
polyeder) betyder "många baser", och i matematikvärlden finns det mycket du kan göra med dessa baser med tanke på deras dimensioner och vinklar.En polyeder är vilken tredimensionell fast substans som helst som består av plana ytor. Ansiktet på vilket en polyeder avbildas "vilande" är dess bas, som kan vara identisk med alla, några eller inga av de andra ansiktena. Det enklaste exemplet är en pyramid, som har fyra triangulära ansikten. En kub har sex identiska ansikten och är ett specialfall av en kuboid, vilket är vilken sexsidig figur som helst som består av rät vinklar.
Vad är ett prisma?
A prisma är en polyeder som kunde ha skapats genom att "trycka" a polygon, eller tvådimensionell figur med tre eller flera vinklar, i en rak linje genom rymden för att bilda två ändar och ansluta dem med så många parallella plan som prisma har sidor. Det enklaste prismen består av två liksidiga trianglar med ansikten parallella med varandra och åtskilda av tre identiska rektangulära ytor orienterade i 60 graders vinklar mot deras närliggande ansikten.
A femkantigt prisma samma sak utvidgades till att omfatta ytterligare två vinklar och ytterligare två ansikten. Den innehåller sålunda två femkantiga baser och fem rektangulära sidor. Det är därför en heptahedron, eftersom den har sju sidor (hepta- är ett Grrek-prefix som betyder "sju").
Område i en Pentagon
Området för varje vanlig polygon (det vill säga en där alla vinklar och sidor är identiska) med sidolängd s kan hittas från formeln:
A = (n) (s2) / [4 tan (180 / n)]
För en femkant (n = 5) minskar detta till:
A = 5s2/2,91 = 1,72s2
Område i ett femkantigt prisma
Om du skulle "veckla ut" eller "platta ut" ett femkantigt prisma av kartong, skulle du ha två identiska femkantiga ytor (prismans baser) och fem identiska rektangulära ytor.
Två sidor av varje rektangel delas med sidorna av pentagonerna; kall denna längd s. Om du ringer etiketterar de andra två sidorna (som kan vara så korta eller så länge du vill, åtminstone i teorin) h, då är arean på varje rektangulär sida sh, och området för alla sidor kombinerat är 5sh.
Det finns två femkantiga ansikten, så den totala ytan av ett femkantigt prisma är:
A = 5 (sh) + 2 (1,72s2) = 5 (sh) + 3,44s2
Volym av ett femkantigt prisma
För varje standardprisma är volymen bara ytan på basen gånger höjden. Det betyder att multiplicera 1,72s2, värdet för arean av en femkant från föregående ekvation, med höjden h oavsett vilka enheter du använder. Volymformeln är:
V = 1,72s2h
Om du till exempel har ett stort femkantigt prisma med en höjd av 30 cm (0,3 m) och sidor på 10 cm (0,1 m), är området:
A = 5 (sh) + 2 (1,72s2) = 5 (0,3 m) (0,1 m) + 2 (1,72) (0,1 m)2
= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m2
Volymen ges av:
V = (1,72) (0,1 m)2(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10-3 m3