Att behärska begreppen sinus och cosinus är en integrerad del av trigonometri. Men när du väl har dessa idéer inom ramen, blir de byggstenarna för andra användbara verktyg inom trigonometri och senare kalkyl. Till exempel är "cosinuslagen" en speciell formel som du kan använda för att hitta den saknade sidan av en triangel om du vet längden på de andra två sidorna plus vinkeln mellan dem, eller för att hitta vinklarna i en triangel när du känner till alla tre sidor.
Lagen om kosinos
Lagen om cosinus finns i flera versioner, beroende på vilka vinklar eller sidor av triangeln du har att göra med:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
I varje fall,a, bochcär sidorna av en triangel, ochA, B, ellerCär vinkeln motsatt sidan av samma bokstav. SåAär vinkeln motsatt sidaa, Bär vinkeln motsatt sidabochCär vinkeln motsatt sidac. Detta är formen av ekvationen som du använder om du hittar längden på en av triangelns sidor.
Lagen om cosinus kan också skrivas om i versioner som gör det lättare att hitta någon av triangelns tre vinklar, förutsatt att du känner till längderna på alla tre av triangelns sidor:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Lösa för en sida
För att kunna använda lagen om cosinus för att lösa sidan av en triangel behöver du tre bitar av information: längderna på triangelns andra två sidor plus vinkeln mellan dem. Välj den version av formeln där sidan du vill hitta finns till vänster om ekvationen och informationen du redan har finns till höger. Så om du vill hitta längden på sidana, skulle du använda versionen
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Ersätt värdena på de två kända sidorna och vinkeln mellan dem i formeln. Om din triangel har kända sidorbochcsom mäter 5 enheter respektive 6 enheter, och vinkeln mellan dem mäter 60 grader (vilket också kan uttryckas i radianer som π / 3), skulle du ha:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Använd en tabell eller din miniräknare för att slå upp värdet på cosinus; i det här fallet är cos (60) = 0,5, vilket ger dig ekvationen:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Förenkla resultatet av steg 2. Detta ger dig:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Vilket i sin tur förenklar till:
a ^ 2 = 31
Ta kvadratroten på båda sidor för att lösaa. Detta lämnar dig med:
a = \ sqrt {31}
Medan du kan använda ett diagram eller din miniräknare för att uppskatta värdet på √31 (det är 5,568) får du ofta - och till och med uppmuntras - att lämna svaret i sin mer exakta radikala form.
Att lösa en vinkel
Du kan använda samma process för att hitta någon av triangelns vinklar om du känner till alla tre sidor. Den här gången väljer du den version av formeln som sätter den saknade eller "vet inte det" vinkeln på vänster sida av likhetstecknet. Tänk dig att du vill hitta måttet på vinkeln C (som, kom ihåg, definieras som vinkeln motsatt sidac). Du använder den här versionen av formeln:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Ersätt de kända värdena - i denna typ av problem, det vill säga längderna på alla tre av triangelns sida - i ekvationen. Som ett exempel, låt sidorna av din triangel varaa= 3 enheter,b= 4 enheter ochc= 25 enheter. Så din ekvation blir:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
När du har förenklat den resulterande ekvationen har du:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
eller helt enkelt cos (C) = 0.
Beräkna den inversa cosinus eller arc cosinus av 0, ofta noteras som cos-1(0). Eller med andra ord, vilken vinkel har en cosinus på 0? Det finns faktiskt två vinklar som returnerar detta värde: 90 grader och 270 grader. Men per definition vet du att varje vinkel i en triangel måste vara mindre än 180 grader, så det lämnar bara 90 grader som ett alternativ.
Så måttet på din saknade vinkel är 90 grader, vilket innebär att du råkar ha att göra med en rätt triangel, även om den här metoden också fungerar med icke-rätta trianglar.