I matematik är ett ömsesidigt tal ett tal som, multiplicerat med det ursprungliga numret, ger 1. Till exempel är det ömsesidiga för variabeln x 1 /x, därför att
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
I detta exempel är 1 /xär den ömsesidiga identiteten hosx, och vice versa. I trigonometri kan någon av de icke-90 graders vinklarna i en rätt triangel definieras av förhållanden som kallas sinus, cosinus och tangent. Med tillämpning av begreppet ömsesidiga identiteter definierar matematiker ytterligare tre förhållanden. Deras namn är cosecant, secant och cotangent. Cosecant är den ömsesidiga identiteten av sinus, secant den för cosinus och cotangent den för tangent.
Hur man bestämmer ömsesidiga identiteter
Tänk på en vinkelθ, som är en av de två icke-90 graders vinklarna i en rätt triangel. Om längden på sidan av triangeln mittemot vinkeln är "b, "längden på sidan intill vinkeln och mittemot hypotenusen är"a"och längden på hypotenusen är"r, "vi kan definiera de tre primära trigonometriska förhållandena i termer av dessa längder.
\ text {sinus} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Syndens ömsesidiga identitetθmåste vara lika med 1 / sin θ, eftersom det är det tal som multipliceras med syndθ, producerar 1. Detsamma gäller för cosθoch solbrännaθ. Matematiker ger dessa ömsesidiga namn cosecant, secant respektive cotangent. Per definition:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Du kan definiera dessa ömsesidiga identiteter i termer av längden på sidorna av den högra triangeln enligt följande:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Följande förhållanden gäller för alla vinklarθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Två andra trigonometriska identiteter
Om du vet sinus och cosinus i en vinkel kan du härleda tangenten. Detta är sant för
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {och} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, så} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Eftersom detta är definitionen av tan θ, följer följande identitet, känd som kvotidentiteten,:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Pythagoras identitet följer av det faktum att, för vilken rätt triangel som helst med sidoraochboch hypotenusrär följande sant:a2 + b2 = r2. Omorganisera termer och definiera förhållanden i termer av sinus och cosinus, kommer du till följande uttryck:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Två andra viktiga förhållanden följer när du infogar ömsesidiga identiteter för sinus och cosinus i ovanstående uttryck:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ