Sines-lagen är en formel som jämför förhållandet mellan en triangelns vinklar och längden på dess sidor. Så länge du känner till minst två sidor och en vinkel, eller två vinklar och en sida, kan du använda lagen om sinus för att hitta de andra saknade bitarna av information om din triangel. Men under en mycket begränsad uppsättning omständigheter kan du få två svar på måttet på en vinkel. Detta är känt som det tvetydiga fallet med sineslagen.
När det tvetydiga fallet kan hända
Det tvetydiga fallet med sines-lagen kan bara hända om den "kända informationsdelen" i din triangel består av två sidor och en vinkel, där vinkeln ärintemellan de två kända sidorna. Detta förkortas ibland som en SSA eller en sidovinkeltriangel. Om vinkeln var mellan de två kända sidorna skulle den förkortas som en SAS eller en sidovinkel-triangel, och det tvetydiga fallet skulle inte gälla.
En sammanfattning av Sines Law
Lagen om sines kan skrivas på två sätt. Den första formen är bekväm för att hitta mått på saknade sidor:
\ frac {a} {\ sin (A)} = \ frac {b} {\ sin (B)} = \ frac {c} {\ sin (C)}
Den andra formen är bekväm för att hitta mått på saknade vinklar:
\ frac {\ sin (A)} {a} = \ frac {\ sin (B)} {b} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Observera att båda formerna är ekvivalenta. Att använda ett eller annat formulär ändrar inte resultatet av dina beräkningar. Det gör dem bara lättare att arbeta med beroende på vilken lösning du letar efter.
Hur det tvetydiga fallet ser ut
I de flesta fall är den enda ledtråden att du kan ha ett tvetydigt fall på dina händer närvaron av en SSA-triangel där du blir ombedd att hitta en av de saknade vinklarna. Tänk dig att du har en triangel med vinkelA= 35 grader, sidaa= 25 enheter och sidab= 38 enheter, och du har blivit ombedd att hitta mätningen av vinkelnB. När du har hittat den saknade vinkeln måste du kontrollera om det tvetydiga fallet gäller.
Infoga din kända information i sineslagen. Med hjälp av det andra formuläret ger detta dig:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38} = \ frac {\ sin (C)} {c}
Bortse från synd (C)/c; det är irrelevant i denna beräkning. Så verkligen, du har:
\ frac {\ sin (35)} {25} = \ frac {\ sin (B)} {38}
Lösa åtB. Ett alternativ är att korsföröka sig; detta ger dig:
25 × \ sin (B) = 38 × \ sin (35)
Därefter förenklar du med hjälp av en miniräknare eller diagram för att hitta syndens värde (35). Det är ungefär 0,57358, vilket ger dig:
25 × \ sin (B) = 38 × 0,57358
vilket förenklar till:
25 × \ sin (B) = 21,79604
Dela sedan båda sidorna med 25 för att isolera synden (B), vilket ger dig:
\ sin (B) = 0,8718416
Att sluta lösa förB, ta bågsidan eller inversen på 0.8718416. Eller med andra ord, använd min räknare eller diagram för att hitta det ungefärliga värdet för en vinkel B som har sinus 0,8718416. Den vinkeln är cirka 61 grader.
Sök efter det tvetydiga fallet
Nu när du har en första lösning är det dags att leta efter det tvetydiga fallet. Detta fall dyker upp eftersom det finns en trubbig vinkel med samma sinus för varje spetsig vinkel. Så medan ~ 61 grader är den spetsiga vinkeln som har sinus 0,8718416, måste du också betrakta den trubbiga vinkeln som en möjlig lösning. Det här är lite knepigt eftersom din räknare och ditt diagram över sinusvärden sannolikt inte berättar om den tråkiga vinkeln, så du måste komma ihåg att kolla efter den.
Hitta den trubbiga vinkeln med samma sinus genom att subtrahera vinkeln du hittade - 61 grader - från 180. Så du har 180 - 61 = 119. Så 119 grader är den tråkiga vinkeln som har samma sinus som 61 grader. (Du kan kontrollera detta med en miniräknare eller ett sinusdiagram.)
Men kommer den tråkiga vinkeln att göra en giltig triangel med den andra informationen du har? Du kan enkelt kontrollera det genom att lägga till den nya, tråkiga vinkeln till den "kända vinkeln" som du fick i det ursprungliga problemet. Om summan är mindre än 180 grader representerar den tråkiga vinkeln en giltig lösning, och du måste fortsätta ytterligare beräkningar medbådegiltiga trianglar i beaktande. Om summan är mer än 180 grader representerar den tråkiga vinkeln inte en giltig lösning.
I detta fall var den "kända vinkeln" 35 grader och den nyupptäckta tråkiga vinkeln var 119 grader. Så du har:
119 + 35 = 154 \ text {grader}
Eftersom 154 grader <180 grader gäller det tvetydiga fallet och du har två giltiga lösningar: Vinkeln i fråga kan mäta 61 grader, eller den kan mäta 119 grader.