Cirklar finns överallt i den verkliga världen, varför deras radier, diametrar och omkrets är viktiga i verkliga applikationer. Men det finns andra delar av cirklar - till exempel sektorer och vinklar - som också har betydelse i dagliga applikationer. Exempel är sektorstorlekar av cirkulär mat som kakor och pajer, vinkeln i ett pariserhjul, dimensionering av ett däck till ett visst fordon och särskilt dimensionering av en ring för ingrepp eller bröllop. Av dessa skäl och mer har geometri också ekvationer och problemberäkningar som behandlar centrala vinklar, bågar och sektorer i en cirkel.
Vad är den centrala vinkeln?
Den centrala vinkeln definieras som den vinkel som skapas av två strålar eller radier som strålar ut från en cirkels centrum, med cirkelns centrum som toppunkten för den centrala vinkeln. Centrala vinklar är särskilt relevanta när det gäller att dela upp pizza eller någon annan cirkulär mat jämnt mellan ett bestämt antal personer. Säg att det finns fem personer på en soiree där en stor pizza och en stor tårta ska delas. Vilken vinkel måste både pizza och kaka delas i för att säkerställa en lika skiva för alla? Eftersom det finns 360 grader i en cirkel blir beräkningen 360 grader dividerat med 5 för att nå 72 grader, så att varje skiva, oavsett om det är pizza eller kakan, har en central vinkel, eller theta (θ), som mäter 72 grader.
Bestämning av den centrala vinkeln från båglängden
En cirkelbåge avser en ”del” av cirkelns omkrets. Båglängden är därför längden på den "delen". Om du föreställer dig en pizzaskiva kan sektorområdet vara visualiseras som hela skivan av pizza, men båglängden är längden på skorpans ytterkant för det särskild skiva. Från båglängden kan den centrala vinkeln beräknas. Faktum är att en formel som kan hjälpa till att bestämma den centrala vinkeln säger att båglängden är lika med radien gånger den centrala vinkeln, eller
s = r × θ
där vinkeln, theta, måste mätas i radianer. För att lösa den centrala vinkeln, theta, behöver man bara dela båglängden med radien, eller
\ frac {s} {r} = θ
För att illustrera, om båglängden är 5,9 och radien är 3,5329, blir den centrala vinkeln 1,67 radianer. Ett annat exempel är om båglängden är 2 och radien är 2 blir den centrala vinkeln 1 radian. Om du vill konvertera radianer till grader, kom ihåg att 1 radian är lika med 180 grader dividerat med π, eller 57,2958 grader. Omvänt, om en ekvation ber att konvertera grader tillbaka till radianer, multiplicera först med π och sedan dividera med 180 grader.
Bestämning av den centrala vinkeln från sektorområdet
En annan användbar formel för att bestämma den centrala vinkeln tillhandahålls av sektorområdet, som återigen kan visualiseras som en skiva pizza. Denna speciella formel kan ses på två sätt. Den första har den centrala vinkeln uppmätt i grader så att sektorområdet är lika med π gånger radie-kvadrat och multipliceras sedan med mängden av den centrala vinkeln i grader dividerat med 360 grader. Med andra ord:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {central vinkel i grader}} {360 \ text {grader}} = \ text {sektorområde}
Om den centrala vinkeln mäts i radianer blir formeln istället:
\ text {sektorområde} = r ^ 2 × \ frac {\ text {central vinkel i radianer}} {2}
Omorganisering av formlerna hjälper till att lösa värdet på den centrala vinkeln, eller theta. Tänk på ett sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radie på 10 centimeter. Vad skulle dess centrala vinkel vara i grader? Beräkningarna skulle börja med att en sektoryta på 52,3 kvadratcentimeter är lika med:
\ frac {θ} {360 \ text {grader}} × πr ^ 2
Sedan radien (r) är lika med 10, kan hela ekvationen skrivas som:
\ frac {52.3} {100π} × 360
så att theta kan skrivas som:
\ frac {52.3} {314} × 360
Således blir det slutliga svaret en central vinkel på 60 grader.