De flesta kommer ihågPythagoras satsfrån nybörjargeometri - det är en klassiker. Dess
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
vara, bochcär sidorna av en höger triangel (cär hypotenusen). Tja, denna teorem kan också skrivas om för trigonometri!
TL; DR (för lång; Läste inte)
TL; DR (för lång; Läste inte)
Pythagoras identiteter är ekvationer som skriver Pythagoras teorem i termer av trig-funktionerna.
Den huvudsakligaPythagoras identiteterär:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pythagoras identiteter är exempel påtrigonometriska identiteter: likheter (ekvationer) som använder trigonometriska funktioner.
Varför spelar det någon roll?
Pythagoras identiteter kan vara mycket användbara för att förenkla komplicerade trig-påståenden och ekvationer. Kom ihåg dem nu, så kan du spara mycket tid på vägen!
Bevis med definitionerna av trig-funktionerna
Dessa identiteter är ganska enkla att bevisa om du tänker på definitionerna av trig-funktionerna. Låt oss till exempel bevisa det
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Kom ihåg att definitionen av sinus är motsatt sida / hypotenus, och att cosinus är intilliggande sida / hypotenus.
Så
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {mittemot} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Och
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {intill} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Du kan enkelt lägga till dessa två eftersom nämnarna är desamma.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {mittemot} ^ 2 + \ text {intill} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Ta nu en titt på Pythagoras teorem. Det står deta2 + b2 = c2. Tänk på attaochbstå för motsatta och intilliggande sidor, ochcstår för hypotenusen.
Du kan ordna om ekvationen genom att dela båda sidor medc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Eftersoma2 ochb2 är motsatta och intilliggande sidor ochc2 är hypotenusen, du har ett motsvarande uttalande som ovan, med (motsatt2 + intilliggande2) / hypotenus2. Och tack vare arbetet meda, b, coch Pythagoras teorem, du kan nu se detta uttalande är lika med 1!
Så
\ frac {\ text {mittemot} ^ 2 + \ text {intill} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
och därför:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Och det är bättre att skriva ut ordentligt: synd2(θ) + cos2(θ) = 1).
De ömsesidiga identiteterna
Låt oss spendera några minuter på att titta påömsesidiga identiteterockså. Kom ihåg attömsesidigär en dividerad med ("över") ditt nummer - även känt som det inversa.
Eftersom cosecant är det ömsesidiga av sinus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Du kan också tänka på cosecant med definitionen av sinus. Till exempel sinus = motsatt sida / hypotenus. Det omvända av det kommer att vara den fraktion som vänds upp och ner, vilket är hypotenus / motsatt sida.
På samma sätt är cosinusens ömsesidiga sekant, så det definieras som
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {eller} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {intilliggande sida}}
Och tangentens ömsesidiga är cotangent, så
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {intilliggande sida}} {\ text {motsatt sida}}
Bevisen för de pythagoreiska identiteterna som använder secant och cosecant är mycket lik den för sinus och cosinus. Du kan också härleda ekvationerna med hjälp av "överordnad" ekvationen, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Dela båda sidor med cos2(θ) för att få identiteten 1 + tan2(θ) = sek2(θ). Dela båda sidor med synd2(θ) för att få identiteten 1 + barnsäng2(θ) = csc2(θ).
Lycka till och se till att memorera de tre Pythagoras identiteterna!