Precis som i algebra, när du börjar lära dig trigonometri, samlar du uppsättningar formler som är användbara för problemlösning. En sådan uppsättning är halvvinkelidentiteterna, som du kan använda för två ändamål. En är att konvertera trigonometriska funktioner för (θ/ 2) till funktioner i termer av det mer bekanta (och lättare manipulerade)θ. Den andra är att hitta det verkliga värdet av trigonometriska funktioner avθ, närθkan uttryckas som hälften av en mer välbekant vinkel.
Granska halvvinkelidentiteterna
Många matteböcker kommer att lista fyra primära halvvinkelidentiteter. Men genom att använda en blandning av algebra och trigonometri kan dessa ekvationer masseras till ett antal användbara former. Du behöver inte nödvändigtvis memorera alla dessa (såvida inte din lärare insisterar), men du bör åtminstone förstå hur du använder dem:
Halvvinkelidentitet för sinus
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Halvvinkelidentitet för Cosine
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Halvvinkelidentiteter för Tangent
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Halvvinkelidentiteter för Cotangent
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Ett exempel på att använda halvvinklade identiteter
Så hur använder du halvvinkelidentiteter? Det första steget är att erkänna att du har att göra med en vinkel som är hälften av en mer välbekant vinkel.
- Kvadrant I: alla trig-funktioner
- Kvadrant II: endast sinus och cosecant
- Kvadrant III: bara tangent och cotangens
- Kvadrant IV: endast cosinus och secant
föreställ dig att du blir ombedd att hitta sinus för vinkeln 15 grader. Detta är inte en av de vinklar som de flesta studenter kommer att memorera värdena för trig-funktioner för. Men om du låter 15 grader vara lika med θ / 2 och sedan löser för θ, kommer du att upptäcka att:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Eftersom den resulterande θ, 30 grader, är en mer välbekant vinkel, med hjälp av halvvinkelformeln här kommer att vara till hjälp.
Eftersom du har blivit ombedd att hitta sinus finns det egentligen bara en halvvinkelformel att välja mellan:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Byt ut iθ/ 2 = 15 grader ochθ= 30 grader ger dig:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Om du hade blivit ombedd att hitta tangenten eller cotangenten, som båda multiplicerar hälften av sätten att uttrycka sin halvvinkelidentitet, skulle du helt enkelt välja den version som såg lättast ut att fungera.
± tecknet i början av vissa halvvinkelidentiteter betyder att roten i fråga kan vara positiv eller negativ. Du kan lösa denna tvetydighet genom att använda din kunskap om trigonometriska funktioner i kvadranter. Här är en snabb sammanfattning av vilka trig-funktioner som returnerarpositivvärden i vilka kvadranter:
Eftersom i detta fall din vinkel θ representerar 30 grader, vilket faller i kvadrant I, vet du att sinusvärdet det returnerar kommer att vara positivt. Så du kan släppa ± -tecknet och helt enkelt utvärdera:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ersätt i det välkända, kända värdet av cos (30). I det här fallet använder du de exakta värdena (i motsats till decimala approximationer från ett diagram):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Därefter förenklar du höger sida av din ekvation för att hitta ett värde för synd (15). Börja med att multiplicera uttrycket under radikalen med 2/2, vilket ger dig:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Detta förenklar för att:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Du kan sedan räkna ut kvadratroten på 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
I de flesta fall är det ungefär så långt du skulle förenkla. Även om resultatet kanske inte är väldigt vackert, har du översatt sinusen av en okänd vinkel till en exakt mängd.