I matematik och geometri är en av de färdigheter som skiljer experterna från de som låtsas vara kunskapen om knep och genvägar. Den tid du spenderar på att lära dig lönar sig i den sparade tiden när du löser problem. Det är till exempel värt att känna till två speciella rätta trianglar som, när du känner igen dem, är ett ögonblick att lösa. I synnerhet de två trianglarna är 30-60-90 och 45-45-90.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Två speciella högra trianglar har inre vinklar på 30, 60 och 90 grader och 45, 45 och 90 grader.
Om rätt trianglar
Trianglar är tresidiga polygoner vars inre vinklar lägger till upp till 180 grader. Den högra triangeln är ett speciellt fall där en av vinklarna är 90 grader, så de andra två vinklarna måste per definition lägga upp till 90. Sinus-, cosinus-, tangent- och andra trigonometriska funktioner ger sätt att beräkna de inre vinklarna på högra trianglar såväl som längden på deras sidor. Ett annat oumbärligt beräkningsverktyg för rätt trianglar är Pythagoras sats, som säger att kvadraten av hypotenusens längd är lika med summan av kvadraterna för de andra två sidor eller
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Lösa speciella höger trianglar
När du arbetar med någon form av rätt triangelproblem får du vanligtvis minst en vinkel och en sida och ombeds beräkna de återstående vinklarna och sidorna. Med hjälp av Pythagoras formel ovan kan du beräkna längden på vilken sida som helst om du får de andra två. En stor fördel med de speciella rätta trianglarna är att proportionerna i sidornas längder alltid är desamma, så att du kan hitta längden på alla sidor om du bara får en. Om du bara får en sida och triangeln är speciell kan du också hitta vinklarnas värden.
30-60-90 triangeln
Som namnet antyder har den högra 30-60-90 triangeln inre vinklar på 30, 60 och 90 grader. Som en konsekvens faller sidorna av denna triangel i proportionerna 1: 2: √3, där 1 och √3 är längderna på motsatta och intilliggande sidor och 2 är hypotenusen. Dessa siffror går alltid ihop: om du löser sidorna av en rätt triangel och finner att de passar mönstret, 1, 2, √3, vet du att vinklarna kommer att vara 30, 60 och 90 grader. På samma sätt, om du får en av vinklarna som 30, vet du att de andra två är 60 och 90, och också att sidorna kommer att ha proportionerna, 1: 2: √3.
45-45-90 triangeln
45-45-90 triangeln fungerar ungefär som 30-60-90, förutom att två vinklar är lika, liksom motsatta och intilliggande sidor. Den har inre vinklar på 45, 45 och 90 grader. Andelen av sidorna av triangeln är 1: 1: √2, med andelen hypotenusen √2. De andra två sidorna är lika långa till varandra. Om du arbetar med en rätt triangel och en av de inre vinklarna är 45 grader, vet du i en omedelbart att återstående vinkel också måste vara 45 grader, eftersom hela triangeln måste lägga upp till 180 grader.
Triangel sidor och proportioner
När du löser de två speciella rätta trianglarna, kom ihåg att det är denproportionerav sidorna som betyder, inte deras mätning i absoluta termer. Till exempel har en triangel sidor som mäter 1 fot och 1 fot och √2 fot, så du vet att det är en 45-45-90 triangel och har inre vinklar på 45, 45 och 90 grader.
Men vad gör du med en rätt triangel vars sidor mäter √17 fot och √17 fot? Sidornas proportioner är nyckeln. Eftersom de två sidorna är identiska är andelen 1: 1 med varandra, och eftersom det är en rätt triangel är andelen hypotenus 1: √2 med någon av de andra sidorna. Lika proportioner tipsar dig om att sidorna är 1, 1, √2, vilket bara tillhör den speciella triangeln 45-45-90. För att hitta hypotenusen, multiplicera √17 med √2 för att få √34 fot.