Ibland är det enda sättet att komma igenom matematiska beräkningar med brute force. Men så ofta kan du spara mycket arbete genom att känna igen speciella problem som du kan använda en standardiserad formel för att lösa. Att hitta summan av kuber och hitta skillnaden mellan kuber är två exempel på exakt det: När du väl känner till formlerna för factoringa3 + b3 ellera3 - b3, att hitta svaret är lika enkelt som att ersätta värdena för a och b i rätt formel.
Att sätta det i sitt sammanhang
Först en snabb titt på varför du kanske vill hitta - eller mer lämpligt "faktor" - summan eller skillnaden i kuber. När konceptet först introduceras är det ett enkelt matematikproblem i och för sig. Men om du fortsätter att studera matematik kommer detta senare att bli ett mellansteg i mer komplexa beräkningar. Så om du fåra3 + b3 ellera3 − b3 som ett svar under andra beräkningar kan du använda de färdigheter du ska lära dig för att bryta dem siffror i enkla komponenter, vilket ofta gör det lättare att fortsätta lösa originalet problem.
Fakturera summan av kuber
Tänk dig att du har kommit till binomialet
x ^ 3 + 27
och ombeds att förenkla det. Den första terminen,x3, är uppenbarligen ett kubiskt nummer. Efter en liten undersökning kan du se att det andra numret faktiskt också är ett kubiskt nummer: 27 är samma som 33. Nu när du vet att båda siffrorna är kuber kan du använda formeln för summan av kuber.
Skriv ut båda siffrorna i kubform, om så inte redan är fallet. För att fortsätta detta exempel skulle du ha:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
När du väl är van vid processen kan du hoppa över det här steget och gå direkt för att fylla värdena från steg 1 i formeln. Men speciellt när du lär dig är det bäst att gå steg för steg och påminna dig själv om formeln:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Jämför vänster sida av denna ekvation med resultatet från steg 1. Observera att du kan ersättaxistället föra,och 3 i stället förb.
Ersätt värdena från steg 1 till formeln i steg 2. Så du har:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
För närvarande representerar du ditt svar när du kommer till höger om ekvationen. Detta är resultatet av att ta med summan av två kuberade siffror.
Faktorerar skillnaden mellan kuber
Att faktorisera skillnaden mellan två kuberade siffror fungerar på samma sätt. Faktum är att formeln är nästan identisk med formeln för summan av kuber. Men det finns en kritisk skillnad: Var särskilt uppmärksam på var minustegnet går.
Tänk dig att du får problemet
y ^ 3 - 125
och måste ta hänsyn till det. Som förut,y3 är en uppenbar kub, och med lite tanke bör du kunna inse att 125 faktiskt är 53. Så du har:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Som tidigare skriver du formeln för kubskillnaden. Lägg märke till att du kan ersättayföraoch 5 förboch notera speciellt var minustecknet går i denna formel. Platsen för minustegnet är den enda skillnaden mellan denna formel och formeln för summan av kuber.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Skriv ut formeln igen, denna gång ersätter du värdena från steg 1. Detta ger:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Återigen, om allt du behöver göra är att beräkna kubens skillnad, är detta ditt svar.