När du ritar trigonometriska funktioner upptäcker du att de är periodiska; det vill säga de ger resultat som upprepas förutsägbart. För att hitta perioden för en viss funktion, behöver du lite förtrogenhet med var och en och hur variationer i deras användning påverkar perioden. När du väl känner igen hur de fungerar kan du välja ut trig-funktioner och hitta perioden utan problem.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Perioden för sinus- och cosinusfunktionerna är 2π (pi) radianer eller 360 grader. För tangentfunktionen är perioden π radianer eller 180 grader.
Definierad: Funktionsperiod
När du plottar dem i ett diagram producerar de trigonometriska funktionerna vågformer som upprepas regelbundet. Liksom alla vågor har formerna igenkännliga funktioner som toppar (höga punkter) och dalar (låga punkter). Perioden visar det vinklade ”avståndet” för en hel vågcykel, vanligtvis mätt mellan två intilliggande toppar eller dalar. Av denna anledning mäter du i matematik en funktionsperiod i vinkelenheter. Till exempel, med en vinkel på noll, producerar sinusfunktionen en jämn kurva som stiger till maximalt 1 vid π / 2 radianer (90 grader), korsar noll vid π radianer (180 grader), minskar till ett minimum av −1 vid 3π / 2 radianer (270 grader) och når noll igen vid 2π radianer (360 grader). Efter denna punkt upprepas cykeln på obestämd tid, vilket ger samma funktioner och värden som vinkeln ökar positivt
x riktning.Sine och Cosine
Sinus- och cosinusfunktionerna har båda en period av 2π radianer. Cosinusfunktionen liknar mycket sinusen, förutom att den är "före" sinusen med π / 2 radianer. Sinusfunktionen tar värdet noll vid noll grader, där cosinus är 1 vid samma punkt.
Tangentfunktionen
Du får tangentfunktionen genom att dela sinus med cosinus. Dess period är π radianer eller 180 grader. Grafen för tangent (x) är noll vid vinkeln noll, böjer sig uppåt, når 1 vid π / 4 radianer (45 grader) och böjer sig sedan uppåt igen där den når en divider-nollpunkt vid π / 2 radianer Funktionen blir då negativ oändlighet och spårar en spegelbild under y axel, når −1 vid 3π / 4 radianer och korsar y axel vid π radianer. Även om det har x värden där den blir odefinierad har tangentfunktionen fortfarande en definierbar period.
Secant, Cosecant och Cotangent
De tre andra trig-funktionerna, cosecant, secant och cotangent, är de ömsesidiga av sinus, cosinus respektive tangent. Med andra ord, cosecant (x) är 1 / synd (x), secant (x) = 1 / cos (x) och barnsäng (x) = 1 / tan (x). Även om deras grafer har odefinierade punkter är perioderna för var och en av dessa funktioner desamma som för sinus, cosinus och tangent.
Periodmultiplikator och andra faktorer
Genom att multiplicera x i en trigonometrisk funktion med en konstant kan du förkorta eller förlänga dess period. Till exempel, för funktionen sin (2_x_) är perioden hälften av sitt normala värde, eftersom argumentet x fördubblas. Den når sitt första maximum vid π / 4 radianer istället för π / 2 och fullbordar en hel cykel i π radianer. Andra faktorer som du ofta ser med trig-funktioner inkluderar förändringar i fas och amplitud, där fasen beskriver en förändring till utgångspunkten i diagrammet och amplituden är funktionens maximala eller minsta värde och ignorerar negativt tecken på minimum. Uttrycket, 4 × sin (2_x_ + π), når till exempel 4 vid sitt maximala på grund av multiplikatorn 4 och börjar med att böja sig nedåt istället för uppåt på grund av π-konstanten som läggs till perioden. Observera att varken 4- eller π-konstanterna påverkar funktionens period, bara dess startpunkt och max- och minimivärden.