Volymen för ett tredimensionellt fast ämne är mängden tredimensionellt utrymme som det upptar. Volymen på några enkla figurer kan beräknas direkt när ytan på en av dess sidor är känd. Volymen på många former kan också beräknas utifrån deras ytarea. Volymen på några mer komplicerade former kan beräknas med integrerad beräkning om funktionen som beskriver dess ytarea är integrerad.
Låt \ "S \" vara ett fast med två parallella ytor som kallas \ "baser. \" Alla tvärsnitt av det fasta materialet som är parallella med baserna måste ha samma område som baserna. Låt \ "b \" vara området för dessa tvärsnitt, och låt \ "h \" vara avståndet som skiljer de två planen som baserna ligger i.
Beräkna volymen av \ "S \" som V = bh. Prismer och cylindrar är enkla exempel på denna typ av fast ämne, men det innehåller också mer komplicerade former. Observera att volymen av dessa fasta ämnen lätt kan beräknas oavsett hur komplex basens form är, så länge som förhållandena i steg 1 håller och basytans yta är känd.
Låt \ "P \" vara ett fast ämne som bildas genom att ansluta en bas med en punkt som kallas en topp. Låt avståndet mellan toppen och basen vara \ "h, \" och avståndet mellan basen och ett tvärsnitt som är parallellt med basen vara \ "z. \" Låt dessutom ytan på basen vara \ "b \" och tvärsnittsarean vara \ "c. \" För alla sådana tvärsnitt, (h - z) / h = c / b.
Beräkna volymen av \ "P \" i steg 3 som V = bh / 3. Pyramider och kottar är enkla exempel på denna typ av fast ämne, men det innehåller också mer komplicerade former. Basen kan ha vilken form som helst så länge som dess ytarea är känd och förhållandena i steg 3 håller.
Beräkna volymen för en sfär från dess yta. En sfärs yta är A = 4? R ^ 2. Genom att integrera denna funktion med avseende på \ "r, \" får vi sfärens volym som V = 4/3? R ^ 3.