Hypotenusen är en av många termer inom matematik och naturvetenskap som de flesta verkar ha hört, men få kan definiera eller beskriva ordentligt. Det hänvisar till den längsta sidan av en rätt triangel, som är en typ av geometrisk konstruktion med mycket grundläggande krav men ett praktiskt taget obegränsat utbud av storlekar och övergripande former.
En höger triangel är en triangel med en vinkel på 90 grader. Detta enda krav resulterar i trianglar som har ett fantastiskt utbud av unika matematiska egenskaper, inklusive sätt att bestämma längden på hypotenusen som ges information om de andra två sidorna eller en sida och en av de två icke-90-graders vinklar.
Egenskaper hos rätt trianglar
Hypotenusen i en rätt triangel är den längsta sidan, som alltid ligger mittemot rätt vinkel. Längderna på de andra två sidorna, kallas ben, kan variera nästan oändligt eftersom de andra två vinklarna kan vara mellan drygt 0 grader och strax under 90 grader förutsatt att deras summa är 90. Detta följer av det faktum att summan av vinklarna i vilken triangel som helst är 180 grader och en rät vinkel är 90 grader.
Formeln hypotenus, som du kanske redan känner till, är det formella matematiska uttrycket för Pythagoras sats. Det hävdar att summan av kvadraterna av längderna på de kortare två sidorna av triangeln a och b är lika med kvadraten av längden på hypotenusen c:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
Hur man beräknar hypotenus från sidorna
Du kan se från formeln för Pythagoras sats att att ta kvadratroten på varje sida ger en uttrycklig formel för hypotenusens värde:
c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}
Om du har värdena för längden på båda benen i triangeln behöver du ingen information om vinklarnas storlek för att räkna ut hypotenusens längd. Allt du behöver göra är att kvadratera varje benvärde oberoende, lägga till resultaten tillsammans och ta kvadratroten av denna summa för att få svaret.
- Gör inte misstaget att först lägga till värdena på benen och sedan kvadrera resultatet, annars blir ditt svar felaktigt.
Hur man beräknar hypotenus från en sida och en vinkel
Hypotenus-ekvationen ovan är endast användbar om du känner till längden på båda benen. I vissa situationer kan du få längden på bara ett ben tillsammans med storleken på en av de två icke-rätta vinklarna. Denna vinkel kan ligga intill det kända benet, eller det kan vara mittemot det (se ett diagram för en bättre förståelse för detta).
I en rätt märkt rätt triangel ligger sida a mellan vinkel B och rätt vinkel C och sida b ligger mellan vinkel A och C; hypotenusen c sammanfogar således A och B. Detta ger upphov till följande trigonometriska förhållanden:
sin A = a / c, sin B = b / c
cos A = b / c, cos B = a / c
tan A = a / b, tan B = b / a
Ett verkligt hypotenusproblem
Vilka relationer du använder beror på vilken vinkel och vilken sida du känner till. Som referens är sinus i en vinkel värdet på motsatt sida dividerat med hypotenusens; cosinus är värdet på intilliggande sida dividerat med hypotenusens värde; och tangenten är värdet på motsatt sida dividerat med värdet på den intilliggande sidan.
Till exempel om sidan a = 15 och vinkeln A = 55 grader kan du använda sinusfunktionen på din räknare för att hitta hypotenusen. Sedan synd A = a / c, du har c = a/sin A = 15 / sin 55. Detta visar sig vara 15 / 0,8192 = 18,31.