Har du någonsin undrat hur trigonometriska funktioner som sinus och cosinus är relaterade? De används båda för att beräkna sidor och vinklar i trianglar, men förhållandet går längre än så.Cofunction identiteterge oss specifika formler som visar hur man konverterar mellan sinus och cosinus, tangent och cotangent, och secant och cosecant.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Sinus i en vinkel är lika med cosinus för dess komplement och vice versa. Detta gäller även för andra medfunktioner.
Ett enkelt sätt att komma ihåg vilka funktioner som är medfunktioner är att två trig-funktioner ärmedfunktionerom en av dem har "co-" prefixet framför sig. Så:
- sinus ochcosinus ärcofunktioner.
- tangent ochcotangent ärcofunktioner.
- sekant ochcosekant ärcofunktioner.
Vi kan beräkna fram och tillbaka mellan samfunktioner med den här definitionen: Värdet på en funktion av en vinkel är lika med värdet på komplementets samfunktion.
Det låter komplicerat, men istället för att prata om värdet på en funktion i allmänhet, låt oss använda ett specifikt exempel. De
sinusav en vinkel är lika medcosinusav dess komplement. Och detsamma gäller för andra medfunktioner: tangent för en vinkel är lika med dess komplement.Kom ihåg: Två vinklar ärkomplementom de lägger till 90 grader.
Cofunction-identiteter i grader:
(Lägg märke till att 90 ° -xger oss en vinkels komplement.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Cofunction Identities in Radians
Kom ihåg att vi också kan skriva saker i termer avradianer, som är SI-enheten för mätning av vinklar. Nittio grader är detsamma som π / 2 radianer, så vi kan också skriva cofunktionsidentiteterna så här:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Cofunction Identities Proof
Allt detta låter bra, men hur kan vi bevisa att detta är sant? Att testa det själv på ett par exempel på trianglar kan hjälpa dig att känna dig säker på det, men det finns också ett mer rigoröst algebraiskt bevis. Låt oss bevisa medfunktionsidentiteterna för sinus och cosinus. Vi ska arbeta i radianer, men det är detsamma som att använda grader.
Bevis:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Först och främst, nå långt tillbaka i ditt minne till den här formeln, för vi ska använda den i vårt bevis:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Jag förstår? OK. Låt oss nu bevisa: synd (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan skriva om cos (π / 2 -x) så här:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
för vi vet
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {och} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Låt oss nu bevisa det med cosinus!
Bevis:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Ytterligare en explosion från det förflutna: Kommer du ihåg denna formel?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Vi håller på att använda den. Låt oss nu bevisa:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Vi kan skriva om synd (π / 2 -x) så här:
\ börja {justerad} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {aligned}
för vi vet
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {och} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så vi får
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Cofunction Calculator
Prova några exempel på att arbeta med cofunktioner på egen hand. Men om du fastnar har Math Celebrity en cofunction-kalkylator som visar steg-för-steg-lösningar på cofunction-problem.
Glad beräkning!